Ainsi (4.5) implique que pour tout s dans la région considérée on a
Prenant y = (log q(lt1 + 2))" on obtient
uniformément dans la région 1/2 + 6 < 0 < 1. Pour terminer, on observe que par
intégration complexe usuelle on a
pour tout s = o + it tel que 1/2 + 8 < s < 1, or l'intégrale est majorée en valeur
absolue
d'après ce qui précède, d'où
puisque 2 - 20 < 1.
O
Remarque 4.6.4
(1) Les énoncés (4) et (5) de la Proposition 4.1.2 sont particulièrement intéressants. Prenant q = 1, la somme qui intervient est la fonction sommatoire de la fonction de Mobius
que l'on peut voir comme une somme oscillante (<< marche au hasard », en termes
probabilistes...), et dont l'interprétation est d'ailleurs très simple : M(x) est égal à
la différence entre le nombre d'entiers sans facteurs carrés n < x ayant un nombre
pair de facteurs premiers, et le nombre de ceux ayant un nombre impair de facteurs
premiers. Dire que cette différence est petite semble fort naturel, mais le démontrer
est, on le voit, très profond.
L'analogie probabiliste n'est pas anodine et justifie en partie le principe heuristique suivant, que 1,011 peut donc voir comme une << hypothèse de Riemann générique D (aussi appelée philosophie de la racine carrée) :
Heuristique. - Si Bi, . . . , ON, sont des angles dans R/Z qui << oscillent véritablement »,
alors la somme exponentielle
est d'ordre de grandeur fi.
COURS SPÉCLALISÉS 13
Prenant y = (log q(lt1 + 2))" on obtient
uniformément dans la région 1/2 + 6 < 0 < 1. Pour terminer, on observe que par
intégration complexe usuelle on a
pour tout s = o + it tel que 1/2 + 8 < s < 1, or l'intégrale est majorée en valeur
absolue
d'après ce qui précède, d'où
puisque 2 - 20 < 1.
O
Remarque 4.6.4
(1) Les énoncés (4) et (5) de la Proposition 4.1.2 sont particulièrement intéressants. Prenant q = 1, la somme qui intervient est la fonction sommatoire de la fonction de Mobius
que l'on peut voir comme une somme oscillante (<< marche au hasard », en termes
probabilistes...), et dont l'interprétation est d'ailleurs très simple : M(x) est égal à
la différence entre le nombre d'entiers sans facteurs carrés n < x ayant un nombre
pair de facteurs premiers, et le nombre de ceux ayant un nombre impair de facteurs
premiers. Dire que cette différence est petite semble fort naturel, mais le démontrer
est, on le voit, très profond.
L'analogie probabiliste n'est pas anodine et justifie en partie le principe heuristique suivant, que 1,011 peut donc voir comme une << hypothèse de Riemann générique D (aussi appelée philosophie de la racine carrée) :
Heuristique. - Si Bi, . . . , ON, sont des angles dans R/Z qui << oscillent véritablement »,
alors la somme exponentielle
est d'ordre de grandeur fi.
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