Par exemple, la somme de Gauss 7 (x) d'un caractère primitif peut se voir comme
une somme exponentielle (avec y(q) termes), et on a Ir(x) ( = fi. Mais une telle
exactitude n'est évidemment pas à espérer dans tous les cas !
On peut aussi << déduire » facilement l'hypothèse de Lindelof de ce principe ; par
exemple il « implique >>
(par sommation par partie) d'où il est aisé de déduire (4.3) car L(x, 1/2 + it) est bien
représentée par une telle somme avec X = q(l t 1 + 2) .
Le principe n'est opérant que si l'on sait interpréter les mots clés « oscillent véritablement ». Bien souvent, une bonne interprétation sera la suivante : si la somme
d'exponentielles est obtenue en « tordant » une suite connue pour être vraiment oscillante (disons a, = e(8,) ) par une autre (disons 6, = e ( ~ , ) ), c'est-à-dire que la
somme S est
alors dire que celle-ci oscille signifie que les variations d'argument de a, ne sont pas
systématiquement compensées par celles de b,, considérée donc comme indépendante de a,. Le cas de a, = p(n), par exemple, « implique » le premier principe
heuristique mentionné dans l'Introduction du premier chapitre (« un entier n est
premier avec probabilité (logn)-' »), en permettant d'évaluer des sommes sur les
nombres premiers pour calculer leur répartition dans de nombreuses suites naturelles (cf: le Chapitre suivant).
(2) L'exposant 1/2 qui apparaît dans les termes d'erreur ne peut pas être amélioré ("There are zeros on the critical line"), même si l'on fait une somme lisse,
auquel cas on attend également (par exemple)
pour Y un majorant lisse de [O, 11.
En cela l'Hypothèse de Riemann est significativement différente du problème
de Dirichlet concernant le terme d'erreur dans la formule pour M,(x) vue dans
l'Exemple 2.3.7, en particulier la formule lisse (2.32) dont le terme d'erreur est
meilleur que celui conjecturé pour la forme non lissée (2.31).
Remarque 4.1.5. - D'après la borne de convexité (3.11), on a un premier pas en
direction de l'hypothèse de Lindelof, à savoir
pour t E R et tout caractère X , la constante implicite ne dépendant que de E. Il
s'avère que de très nombreuses applications arithmétiques significatives dépendent
simplement de la possibilité de démontrer une telle majoration avec n'importe quel
une somme exponentielle (avec y(q) termes), et on a Ir(x) ( = fi. Mais une telle
exactitude n'est évidemment pas à espérer dans tous les cas !
On peut aussi << déduire » facilement l'hypothèse de Lindelof de ce principe ; par
exemple il « implique >>
(par sommation par partie) d'où il est aisé de déduire (4.3) car L(x, 1/2 + it) est bien
représentée par une telle somme avec X = q(l t 1 + 2) .
Le principe n'est opérant que si l'on sait interpréter les mots clés « oscillent véritablement ». Bien souvent, une bonne interprétation sera la suivante : si la somme
d'exponentielles est obtenue en « tordant » une suite connue pour être vraiment oscillante (disons a, = e(8,) ) par une autre (disons 6, = e ( ~ , ) ), c'est-à-dire que la
somme S est
alors dire que celle-ci oscille signifie que les variations d'argument de a, ne sont pas
systématiquement compensées par celles de b,, considérée donc comme indépendante de a,. Le cas de a, = p(n), par exemple, « implique » le premier principe
heuristique mentionné dans l'Introduction du premier chapitre (« un entier n est
premier avec probabilité (logn)-' »), en permettant d'évaluer des sommes sur les
nombres premiers pour calculer leur répartition dans de nombreuses suites naturelles (cf: le Chapitre suivant).
(2) L'exposant 1/2 qui apparaît dans les termes d'erreur ne peut pas être amélioré ("There are zeros on the critical line"), même si l'on fait une somme lisse,
auquel cas on attend également (par exemple)
pour Y un majorant lisse de [O, 11.
En cela l'Hypothèse de Riemann est significativement différente du problème
de Dirichlet concernant le terme d'erreur dans la formule pour M,(x) vue dans
l'Exemple 2.3.7, en particulier la formule lisse (2.32) dont le terme d'erreur est
meilleur que celui conjecturé pour la forme non lissée (2.31).
Remarque 4.1.5. - D'après la borne de convexité (3.11), on a un premier pas en
direction de l'hypothèse de Lindelof, à savoir
pour t E R et tout caractère X , la constante implicite ne dépendant que de E. Il
s'avère que de très nombreuses applications arithmétiques significatives dépendent
simplement de la possibilité de démontrer une telle majoration avec n'importe quel