exposant 1/4 - 6, 6 > O (éventuellement pour d'autres types de séries de Dirichlet que
les L ( x , s) , notamment celles associées aux formes modulaires, dont nous n'avons pas
le temps de parler ici). De telles applications sont donc impliquées par l'hypothèse de
Lindelof, a fortiori par l'Hypothèse de Riemann Généralisée, mais il a été constaté à de
nombreuses reprises qu'il est souvent possible de prouver une telle borne « meilleure
que celle de convexité D
L(x, 1/2 + il) « qa(ltl + 21P
avec l'un de a et p de la forme 1/4 - 6 (voire les deux), sans faire aucune hypothèse.
En cela, la situation est similaire à celle du théorème de Bombieri-Vinogradov discuté
ci-dessous.
La première borne de ce type remonte à Weyl qui démontra
c(1/2+it) « ~ t l ' / ~ ( l o ~ l t l ) ~ / ~ ,
pour Itl 2 1 (voirparexemple [ ~ 2 , 5 . 5 ] )
et parmi bien d'autres résultats on peut mentionner
L(x, 1/2) «, q
3/16+~
(où l'aspect « dépendance en le module » est donc privilégié), dû à Burgess [Bu21
pour tout caractère x modulo q. Récemment, en utilisant des résultats portant sur les
formes modulaires, Conrey et Iwaniec [CI] ont démontré
pour tout caractère réel. Comme application d'une borne sous-convexe, pour des fonctions L automorphes, citons la preuve par Iwaniec du fait que, lorsque n -+ +oo par
valeurs « permises » ('), les << points entiers sur la sphère D
1
2
- (x, y, z) E S = {(u, u, w ) E R~ 1 u2 + v2 + w2 = l), avec (x, y, z ) E z3
fi
(autrement dit les points correspondant aux solutions entières de x2 + y2 + z2 = n ) ,
deviennent équirépartis sur s2 pour la mesure induite sur la sphère par la mesure de
Lebesgue [Iw5, 11-61. Un survol de ce type de questions se trouve dans [Mi2], voir
aussi [Sa] par exemple.
Du point de vue de la théorie analytique des nombres, la conséquence de 1'Hypothèse de Riemann est que les nombres premiers p < x sont bien répartis dans
toutes les progressions arithmétiques de module q < x ' / ~ - € , où E > O (ce qu'on peut
d'ailleurs améliorer assez aisément en q < x ' / ~ (log x) ) : on a
li (x)
7-c (x; q, a) -
cp (4)
pour x -+ +KI uniformément pour q < x'/~-€ et (a, q) = 1.
( l ) ~ ' a ~ r è s
un théorème de Gauss, un entier n est somme de trois carrés si et seulement si il n'est pas de
la forme n = 4'(8m + 7). Cf: [Se, IV, App.] pour une preuve, par exemple.
les L ( x , s) , notamment celles associées aux formes modulaires, dont nous n'avons pas
le temps de parler ici). De telles applications sont donc impliquées par l'hypothèse de
Lindelof, a fortiori par l'Hypothèse de Riemann Généralisée, mais il a été constaté à de
nombreuses reprises qu'il est souvent possible de prouver une telle borne « meilleure
que celle de convexité D
L(x, 1/2 + il) « qa(ltl + 21P
avec l'un de a et p de la forme 1/4 - 6 (voire les deux), sans faire aucune hypothèse.
En cela, la situation est similaire à celle du théorème de Bombieri-Vinogradov discuté
ci-dessous.
La première borne de ce type remonte à Weyl qui démontra
c(1/2+it) « ~ t l ' / ~ ( l o ~ l t l ) ~ / ~ ,
pour Itl 2 1 (voirparexemple [ ~ 2 , 5 . 5 ] )
et parmi bien d'autres résultats on peut mentionner
L(x, 1/2) «, q
3/16+~
(où l'aspect « dépendance en le module » est donc privilégié), dû à Burgess [Bu21
pour tout caractère x modulo q. Récemment, en utilisant des résultats portant sur les
formes modulaires, Conrey et Iwaniec [CI] ont démontré
pour tout caractère réel. Comme application d'une borne sous-convexe, pour des fonctions L automorphes, citons la preuve par Iwaniec du fait que, lorsque n -+ +oo par
valeurs « permises » ('), les << points entiers sur la sphère D
1
2
- (x, y, z) E S = {(u, u, w ) E R~ 1 u2 + v2 + w2 = l), avec (x, y, z ) E z3
fi
(autrement dit les points correspondant aux solutions entières de x2 + y2 + z2 = n ) ,
deviennent équirépartis sur s2 pour la mesure induite sur la sphère par la mesure de
Lebesgue [Iw5, 11-61. Un survol de ce type de questions se trouve dans [Mi2], voir
aussi [Sa] par exemple.
Du point de vue de la théorie analytique des nombres, la conséquence de 1'Hypothèse de Riemann est que les nombres premiers p < x sont bien répartis dans
toutes les progressions arithmétiques de module q < x ' / ~ - € , où E > O (ce qu'on peut
d'ailleurs améliorer assez aisément en q < x ' / ~ (log x) ) : on a
li (x)
7-c (x; q, a) -
cp (4)
pour x -+ +KI uniformément pour q < x'/~-€ et (a, q) = 1.
( l ) ~ ' a ~ r è s
un théorème de Gauss, un entier n est somme de trois carrés si et seulement si il n'est pas de
la forme n = 4'(8m + 7). Cf: [Se, IV, App.] pour une preuve, par exemple.