On utilise fréquemment l'Hypothèse de Riemann comme un premier outil pour
l'exploration d'un problème donné, destiné à l'éclairer afin d'en deviner la solution.
Parfois, celle-ci peut alors être démontrée indépendamment.
Dans la suite de ce chapitre, nous présentons un exemple classique de ce type de
raisonnement.
4.2. Problèmes d'uniformité : exemple
D'un point de vue pratique, l'énoncé du Théorème 3.4.1 n'est pas du tout satisfaisant, en l'absence de plus d'information concernant la localisation du zéro exceptionnel (on espère évidemment qu'il n'existe pas...), car sans cela il ne fournit pas
une version uniforme (par rapport à q ) du théorème des nombres premiers. Or il
s'agit là bien souvent de ce qui importe pour les applications.
Revenons par exemple au Problème 1.1.3 des diviseurs de Titchmarsh, c'est-à-dire
l'estimation de la somme
La relation avec le théorème des nombres premiers est la formule suivante :
Lemme 4.2.1. - On a pour x 2 1
Démonstration. - La première formule vient immédiatement en écrivant
par définition.
Pour la seconde, on utilise le « truc » de Dirichlet d'inverser les diviseurs : si n = ab,
on a soit a < fi, soit b < fi, donc
1 si n est un carré
r ( n ) = C 1 = 2 C 1 +
ab=n
0 sinon,
d'où le résultat en prenant n = p - 1 et en sommant sur p.
0
Négligeant le terme d'erreur dans le théorème des nombres premiers on est
amené par la première formule à s'attendre à ce que
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004