96
CHAPITRE 4. DISCUSSION DU THÉORÈME DES NOMBRES PREMIERS
Comme (voir Exercice 2.3.10) on a
on en arrive à conjecturer
Conjecture 4.2.2. - On a
(4.7)
S(x) - cx quand x + +m.
Si l'on compare cela à la formule (2.30)
en tenant compte du théorème des nombres premiers, cette formule indiquerait que,
grosso modo, les entiers p - 1 sont du point de vu multiplicatif (du moins dans
le reflet fourni par la fonction T) comparables aux entiers ordinaires, à un facteur
correctif près (dû par exemple au fait que p - 1 est pair pour p 3). Mais le manque
d'uniformité en q dans le Théorème des Nombres Premiers empêche de prouver cela
suivant cet argument direct.
La conjecture ci-dessus a été démontrée par Linnik [Li] en 1961. Sa preuve, très
complexe, peut aujourd'hui être présentée comme conséquence simple des trois
résultats fondamentaux (connus) concernant la distribution des nombres premiers
dans les progressions arithmétiques de grand module.
Remarque 4.2.3. - Il est moins brutal d'appliquer l'Hypothèse de Riemann Généralisée que d'ignorer le terme d'erreur. Si l'on procède ainsi on peut seulement démontrer que GRH implique
C x(x; d, 1) - cx quand x -t +CO, et
d ~ x l / ~ - ~
pour tout E > O fixé (Cf: la Proposition 4.1.2, (3)). Le cas E = O correspondant à celui
de S(x) ne peut s'en déduire directement : cela illustre en passant la difficulté de ce
problème.
4.3. Le théorème de Siegel-Walfisz
Dans l'optique d'un traitement uniforme des progressions arithmétiques de
module q, la première tâche après avoir démontré le théorème des nombres premiers pour q fixé, comme dans le chapitre précédent, est bien entendu d'obtenir
une estimation (meilleure que p, < 1) du terme exceptionnel qui peut intervenir
dans (3.40), c'est-à-dire du zéro réel éventuel de la fonction L d'un caractère réel
primitif.
CHAPITRE 4. DISCUSSION DU THÉORÈME DES NOMBRES PREMIERS
Comme (voir Exercice 2.3.10) on a
on en arrive à conjecturer
Conjecture 4.2.2. - On a
(4.7)
S(x) - cx quand x + +m.
Si l'on compare cela à la formule (2.30)
en tenant compte du théorème des nombres premiers, cette formule indiquerait que,
grosso modo, les entiers p - 1 sont du point de vu multiplicatif (du moins dans
le reflet fourni par la fonction T) comparables aux entiers ordinaires, à un facteur
correctif près (dû par exemple au fait que p - 1 est pair pour p 3). Mais le manque
d'uniformité en q dans le Théorème des Nombres Premiers empêche de prouver cela
suivant cet argument direct.
La conjecture ci-dessus a été démontrée par Linnik [Li] en 1961. Sa preuve, très
complexe, peut aujourd'hui être présentée comme conséquence simple des trois
résultats fondamentaux (connus) concernant la distribution des nombres premiers
dans les progressions arithmétiques de grand module.
Remarque 4.2.3. - Il est moins brutal d'appliquer l'Hypothèse de Riemann Généralisée que d'ignorer le terme d'erreur. Si l'on procède ainsi on peut seulement démontrer que GRH implique
C x(x; d, 1) - cx quand x -t +CO, et
d ~ x l / ~ - ~
pour tout E > O fixé (Cf: la Proposition 4.1.2, (3)). Le cas E = O correspondant à celui
de S(x) ne peut s'en déduire directement : cela illustre en passant la difficulté de ce
problème.
4.3. Le théorème de Siegel-Walfisz
Dans l'optique d'un traitement uniforme des progressions arithmétiques de
module q, la première tâche après avoir démontré le théorème des nombres premiers pour q fixé, comme dans le chapitre précédent, est bien entendu d'obtenir
une estimation (meilleure que p, < 1) du terme exceptionnel qui peut intervenir
dans (3.40), c'est-à-dire du zéro réel éventuel de la fonction L d'un caractère réel
primitif.