4.3. LE THÉORÈME DE SIEGELWALFISZ
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Ce problème de l'estimation de Pe est pratiquement équivalent à celui de minorer
L(x, 1) , pour x un caractère primitif réel.
Lemme 4.3.1. - Soit x modulo q u n caractère primitif réel, P E ] 0,1[ u n zéro réel de L (x, s) .
On a alors
avec une constante implicite absolue.
Remarque 4.3.2. - On sait que L ( x , 1) > 0, d'après la formule du nombre de classes,
ou parce que L(x, o) # O pour o 3 1 et L(x, o) + 1 quand o -+ +m.
Démonstration. - Par (3.27) appliqué à s = 1 et X = {P) , on a
avec une constante implicite absolue. Mais d'après (3.17) on a
avec des constantes implicites absolues, d'où
Du point de vue des corps quadratiques (imaginaires du moins), la formule de
Dirichlet (3.35) ajoutée à l'inégalité h ( K ) 2 1 implique donc la minoration effective
(4.8)
1 - fie » q-'I2 (log q ) 2 si x est impair.
Siegel [Sil], utilisant une idée également présente de manière moins efficace chez
Landau [LI, est parvenu à améliorer ce résultat, au prix de la perte de l'effectivité de
la constante (ce qui a des conséquences très négatives dans certaines applications).
Théorème 4.3.3. - Soit E tel que O < E < 1/2. Alors tout zéro réel P, d'un caractère de
Dirichlet réel primitif xe modulo q vh$e
La constante implicite, dépendant de E , n 'est pas effective.
Démonstration. - L'idée est de commencer comme la preuve du Lemme 3.3.12 de
Landau en considérant la fonction
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004