pour
# ~2 des caractères primitifs réels modulo ql et q2 respectivement. Comme
en (3.39), on a pour o > 1 le développement en série de Dirichlet
avec A (n) 2 O pour n 2 1. Considérons alors un majorant lisse q de [O, 11 d'amplitude 2 et, pour y 2 1 et 1/2 < P < 1, la somme lisse
c h (n) n P q (y/n) 2 A (1) = 1 par positivité.
n
Procédant comme d'habitude, il vient pour c > 1
car L(s) a, pour xi # x2, un pôle simple en s = 1 de résidu L(xi, 1)L(x2, l)L(xlx2, 1) ,
et %(s) a un pôle simple en s = O de résidu 1 (voir Proposition 2.3.3). Le déplacement du contour est justifié comme à l'accoutumé par la décroissance rapide de %(s)
dans les bandes verticales.
Estimant trivialement la seconde intégrale à l'aide de (3.11) pour o = 1/2 (avec
E = 1/2), on trouve l'inégalité fondamentale
Supposons maintenant que Pl, 3/4 < Pi < 1, est un zéro de L (xi, s) . Il vient alors
L(Pl) = O, et de plus pour y = c ( ~ ~ ~ ~ ) ~
on a
donc le terme de droite est 1 + Q(qlq2y1/2-Pl ) > 1/2 si c > O est choisie assez grande.
Ainsi il vient
avec une constante implicite ne dépendant que de q, en utilisant encore que ?(s) a
un pôle simple en s = 0.
Par conséquent
Autrement dit, si un zéro exceptionnel réel Pl existe, on peut minorer L ( l , x2) assez
bien. Le théorème découle de cela, de la manière subreptice suivante ...
Soit E E ]O, 1/2[. Si aucune des fonctions L de caractères réels n'a un zéro p tel
que p > 1 - E , l'estimation (4.9) est vraie avec une constante parfaitement effective.
COURS SPÉCIALISÉS 13
# ~2 des caractères primitifs réels modulo ql et q2 respectivement. Comme
en (3.39), on a pour o > 1 le développement en série de Dirichlet
avec A (n) 2 O pour n 2 1. Considérons alors un majorant lisse q de [O, 11 d'amplitude 2 et, pour y 2 1 et 1/2 < P < 1, la somme lisse
c h (n) n P q (y/n) 2 A (1) = 1 par positivité.
n
Procédant comme d'habitude, il vient pour c > 1
car L(s) a, pour xi # x2, un pôle simple en s = 1 de résidu L(xi, 1)L(x2, l)L(xlx2, 1) ,
et %(s) a un pôle simple en s = O de résidu 1 (voir Proposition 2.3.3). Le déplacement du contour est justifié comme à l'accoutumé par la décroissance rapide de %(s)
dans les bandes verticales.
Estimant trivialement la seconde intégrale à l'aide de (3.11) pour o = 1/2 (avec
E = 1/2), on trouve l'inégalité fondamentale
Supposons maintenant que Pl, 3/4 < Pi < 1, est un zéro de L (xi, s) . Il vient alors
L(Pl) = O, et de plus pour y = c ( ~ ~ ~ ~ ) ~
on a
donc le terme de droite est 1 + Q(qlq2y1/2-Pl ) > 1/2 si c > O est choisie assez grande.
Ainsi il vient
avec une constante implicite ne dépendant que de q, en utilisant encore que ?(s) a
un pôle simple en s = 0.
Par conséquent
Autrement dit, si un zéro exceptionnel réel Pl existe, on peut minorer L ( l , x2) assez
bien. Le théorème découle de cela, de la manière subreptice suivante ...
Soit E E ]O, 1/2[. Si aucune des fonctions L de caractères réels n'a un zéro p tel
que p > 1 - E , l'estimation (4.9) est vraie avec une constante parfaitement effective.
COURS SPÉCIALISÉS 13