Supposons par contre que x,, modulo q,, a un zéro P, tel que 1 - P, < E. Alors,
prenant XI = x,, et pi = P, dans (4.11) on trouve
car, pour E fixé, qe et p, le sont également. C'est là que la constante n'est pas effective,
puisque l'on ignore complètement la valeur (probablement inexistante) de q, . . .
Cette inégalité, quitte à changer E, donne (4.10), et d'après le Lemme 4.3.1, l'estimation (4.9) en découle.
O
La preuve ci-dessus est basée sur celle de D. Goldfeld.
On déduit du théorème de Siegel celui de Siegel-Walfisz, qui reste le meilleur
résultat connu pour l'équirépartition des nombres premiers dans une progression
arithmétique individuelle.
Corollaire 4.3.4. - Soit A > O un nombre réel quelconque. Alors pour tout y 2 2 , q 2 1 et
(a,q) = 1, o n a
L a constante ne dépend que de A, elle n ést pas effective.
Démonstration. -
Si p, n'existe pas,
Si p, existe, pour
D'après (3.46)' on a
le terme correspondant disparaît et le corollaire est vrai (cf. (3.41)).
tout E < 1/2 on a
d'après le théorème de Siegel, la constante CE étant non effective, et le terme correspondant satisfait
C E log y
~ X P
(- E) -
On voit alors que si q est plus grand que ( l ~ g y ) " ~ ,
ce dernier majorant est du même
ordre de grandeur que le terme principal. Soit A > O donné et distinguons donc deux
cas : si q > (log y)", l'estimation du corollaire est triviale. Sinon, pour E = 1/4A, on
trouve
Remarque 4.3.5. - Cette remarque développe en partie la Remarque 3.3.10 du Chapitre 3. Le théorème de Siegel, exprimé par la minoration de L(x, 1) , dit qu'il existe
CE > O telle que
IL(x, 1)l cEq-E,