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CHAPITRE 4. DISCUSSION DU THÉORÈME DES NOMBRES PREMIERS
donc, si K/Q est un corps quadratique imaginaire, associé au caractère quadratique
impair x modulo A, on a par (3.35)
En particulier, prenant E < 1/2 quelconque, cela résout une des premières conjectures de Gauss concernant les nombres de classes de formes quadratiques, après traduction en terme de corps quadratiques : on a
iim h ( Q ( n ) ) = +W.
D++w
Donc, pour tout h > 1 donné, il existe un nombre fini de corps quadratiques imaginaires K/Q tels que h ( K ) = h. Mais, parce que la constante C, est non effective,
il n'est pas possible d'utiliser le théorème de Siegel pour déterminer ces valeurs de h,
ni même pour fournir une borne supérieure à la plus grande valeur du discriminant
de K s'il vérifie h (K) = h.
Gauss, par exemple, avait également conjecturé que h(K) = 1 si et seulement si
K = Q(\/-D) avec
Ceci fut finalement démontré de manière ad hoc par Heegner, Stark et Baker indépendamment (voir par exemple [Ba, 51 ). Enfin, D. Goldfeld [Go] et Gross-Zagier [GZ]
ont obtenu la première minoration effective non triviale permettant, en principe, de
calculer tous les K vérifiant h(K) = h : on a (dans la présentation dYOesterlé [Oe])
Le produit sur p est décroît extrêmement lentement (il est de l'ordre de (log log A)-' ) ,
mais du point de vue « concret » il n'est pas négligeable : cette estimation, sans plus
d'astuces, ne permet pas d'espérer calculer effectivement les K tels que h(K) = 4,
par exemple.
L'idée de Goldfeld (déjà présente sous forme d'ébauche dans des travaux de Friedlander [Fr]) est d'utiliser comme « pivot » pour minorer effectivement L ( x , 1) , non
pas un très hypothétique caractère exceptionnel XI comme dans la preuve du théorème de Siegel, mais une autre fonction L qui admet effectivement un zéro réel.
D'après les généralisations de l'hypothèse de Riemann, ce zéro ne peut être qu'en
s = 1/2, et il se trouve que l'on connaît effectivement des fonctions L vérifiant les
propriétés demandées. Cependant, elles ne sont pas associées à des caractères de Dirichlet mais à des objets arithmétiques plus complexes, les courbes elliptiques (ou
bien, d'un point de vue dual, des formes modulaires).
Le fait que le zéro soit en 1/2 affaiblit considérablement l'effet (dit de répulsion)
sur les autres zéros exceptionnels, ce qui explique que la minoration obtenue ne soit
meilleure que par un facteur logarithme de la minoration triviale.
COURS SPÉCIALISÉS 13
CHAPITRE 4. DISCUSSION DU THÉORÈME DES NOMBRES PREMIERS
donc, si K/Q est un corps quadratique imaginaire, associé au caractère quadratique
impair x modulo A, on a par (3.35)
En particulier, prenant E < 1/2 quelconque, cela résout une des premières conjectures de Gauss concernant les nombres de classes de formes quadratiques, après traduction en terme de corps quadratiques : on a
iim h ( Q ( n ) ) = +W.
D++w
Donc, pour tout h > 1 donné, il existe un nombre fini de corps quadratiques imaginaires K/Q tels que h ( K ) = h. Mais, parce que la constante C, est non effective,
il n'est pas possible d'utiliser le théorème de Siegel pour déterminer ces valeurs de h,
ni même pour fournir une borne supérieure à la plus grande valeur du discriminant
de K s'il vérifie h (K) = h.
Gauss, par exemple, avait également conjecturé que h(K) = 1 si et seulement si
K = Q(\/-D) avec
Ceci fut finalement démontré de manière ad hoc par Heegner, Stark et Baker indépendamment (voir par exemple [Ba, 51 ). Enfin, D. Goldfeld [Go] et Gross-Zagier [GZ]
ont obtenu la première minoration effective non triviale permettant, en principe, de
calculer tous les K vérifiant h(K) = h : on a (dans la présentation dYOesterlé [Oe])
Le produit sur p est décroît extrêmement lentement (il est de l'ordre de (log log A)-' ) ,
mais du point de vue « concret » il n'est pas négligeable : cette estimation, sans plus
d'astuces, ne permet pas d'espérer calculer effectivement les K tels que h(K) = 4,
par exemple.
L'idée de Goldfeld (déjà présente sous forme d'ébauche dans des travaux de Friedlander [Fr]) est d'utiliser comme « pivot » pour minorer effectivement L ( x , 1) , non
pas un très hypothétique caractère exceptionnel XI comme dans la preuve du théorème de Siegel, mais une autre fonction L qui admet effectivement un zéro réel.
D'après les généralisations de l'hypothèse de Riemann, ce zéro ne peut être qu'en
s = 1/2, et il se trouve que l'on connaît effectivement des fonctions L vérifiant les
propriétés demandées. Cependant, elles ne sont pas associées à des caractères de Dirichlet mais à des objets arithmétiques plus complexes, les courbes elliptiques (ou
bien, d'un point de vue dual, des formes modulaires).
Le fait que le zéro soit en 1/2 affaiblit considérablement l'effet (dit de répulsion)
sur les autres zéros exceptionnels, ce qui explique que la minoration obtenue ne soit
meilleure que par un facteur logarithme de la minoration triviale.
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