4.4. LE THÉORÈME DE BOMBIERI-VINOGRADOV
4.4. Le théorème de Bombieri-Vinogradov
Le théorème de Siegel-Walfisz est l'un des deux ingrédients essentiels dans la démonstration du théorème de ~ombieri-vinogradod2). Cet important théorème peut
se présenter comme démontrant que l'Hypothèse de Riemann Généralisée est vraie
<< en moyenne >> dans un certain sens. Un tel énoncé, en plus de son propre intérêt
intrinsèque, est d'une importance décisive dans de nombreuses applications car c'est
souvent sous une telle forme qu'elles se présentent.
Ainsi, c'est le cas du problème des diviseurs de Titchmarsh d'après la formule (4.6) : les progressions arithmétiques f~ = 1 (modd), d < \/x, y sont
considérées en moyenne sur d et non individuellement.
Théorème 4.4.1. - Soit y 2 2 et A > O un réel quelconque. Il existe B = B (A) > O tel que
Y
x max 1 n (y; q, a ) - 40 1 «A -
q (P (4)
log^)^
pour tout Q < (10gy)-~. L a constante implicite nést pas effective. De plus B = 7A + 1
convient.
Pour une preuve, voir par exemple [Bo, § 71.
Pour justifier la description de ce résultat donnée ci-dessus, notons que si l'on
divise par le nombre de termes on trouve en moyenne
pour Q = \ l ~ ( l o ~ y ) - ~ ,
ce qui représente bien l'ordre de grandeur du terme d'erreur
impliqué par l'Hypothèse de Riemann ( cJ: Proposition 4.1.2).
L'ineffectivité de la constante provient de l'utilisation du théorème de SiegelWalfisz dans la démonstration.
On en déduit :
Proposition 4.4.2. - On a
quand x + +oo avec B = 8
( 2 ) L'autre étant le principe dit du grand crible.