Démonstration. - On calcule en introduisant le terme principal espéré
li (x)
C x ( ~ ; d , l )
= C -+Q
C x(x;d,l)-d
= ii(x) (clogx + 0(1)) + Q(-) log x
si D = x (log x ) - ~ ( ' ) avec la notation du Théorème 4.4.1. Comme B = 7 A + 1 = 8 est
possible, le résultat en découle.
O
Ici, comme lorsque l'Hypothèse de Riemann a été employée, on voit qu'il n'est pas
possible d'en déduire directement la solution du problème des diviseurs de Titchmarsh. Aussi, le second terme dans (4.6) ne peut être traité directement par le Théorème 4.4.1 puisque la limite d2 + 1 y dépend du module de la progression arithmétique.
4.5. L'inégalité de Brun-Titchrnarsh
La dernière étape dans la preuve du théorème de Linnik est en fait historiquement la première : Titchmarsh lui-même démontra comment traiter, inconditionnellement, les << grandes valeurs >> de d, c'est-à-dire
(et le second terme dans (4.6)).
L'idée est cette fois que, si l'on admet que le terme principal dans le théorème
des nombres premiers représente le bon ordre de grandeur, la contribution de ces
valeurs de d devrait être négligeable, précisément on a pour tout A > O
li (x)
l i ( d 2 + l )
x
Y(d)
<< -
d < r n
log x
par des calculs élémentaires (voir l'Exercice 2.3.10). En particulier, il suffit, pour
prouver (4.'7), d'avoir une majoration de x(x; d, 1) du bon ordre de grandeur, valable pour les valeurs ci-dessus des paramètres. C'est le contenu de l'inégalité de
Brun-Titchmarsh, énoncée ici sous la forme très claire due à Montgomery et Vaughan [MV].
Théorème 4.5.1. - On a l'inégalité
pour tout x 2 2, q < x et (a, q) = 1.
li (x)
C x ( ~ ; d , l )
= C -+Q
C x(x;d,l)-d
= ii(x) (clogx + 0(1)) + Q(-) log x
si D = x (log x ) - ~ ( ' ) avec la notation du Théorème 4.4.1. Comme B = 7 A + 1 = 8 est
possible, le résultat en découle.
O
Ici, comme lorsque l'Hypothèse de Riemann a été employée, on voit qu'il n'est pas
possible d'en déduire directement la solution du problème des diviseurs de Titchmarsh. Aussi, le second terme dans (4.6) ne peut être traité directement par le Théorème 4.4.1 puisque la limite d2 + 1 y dépend du module de la progression arithmétique.
4.5. L'inégalité de Brun-Titchrnarsh
La dernière étape dans la preuve du théorème de Linnik est en fait historiquement la première : Titchmarsh lui-même démontra comment traiter, inconditionnellement, les << grandes valeurs >> de d, c'est-à-dire
(et le second terme dans (4.6)).
L'idée est cette fois que, si l'on admet que le terme principal dans le théorème
des nombres premiers représente le bon ordre de grandeur, la contribution de ces
valeurs de d devrait être négligeable, précisément on a pour tout A > O
li (x)
l i ( d 2 + l )
x
Y(d)
<< -
d < r n
log x
par des calculs élémentaires (voir l'Exercice 2.3.10). En particulier, il suffit, pour
prouver (4.'7), d'avoir une majoration de x(x; d, 1) du bon ordre de grandeur, valable pour les valeurs ci-dessus des paramètres. C'est le contenu de l'inégalité de
Brun-Titchmarsh, énoncée ici sous la forme très claire due à Montgomery et Vaughan [MV].
Théorème 4.5.1. - On a l'inégalité
pour tout x 2 2, q < x et (a, q) = 1.