4.5. L'INÉGALITÉ DE BRUN-TITCHMARSH
Corollaire 4.5.2. - O n a
1
x
(4.19)
x ( x ; q, a ) «, - -
' P (4) 1%
pour tout q < xl-E avec E > O fixé, la constante dépendant de E .
On note la très grande uniformité de la majoration obtenue : elle va bien au
delà de ce que donne l'Hypothèse de Riemann directement (mais, étant une majoration, ne dit rien sur l'existence de nombres premiers ...) Puisque les valeurs de d
dans (4.15) ainsi que celles dans n(d2 + 1; d, 1) vérifient l'hypothèse du corollaire, on
en déduit (par le calcul (4.17) en prenant D = (log x ) ) :
Proposition 4.5.3 (Linnik [Li] ) . - L a Conjecture 4.2.2 est vraie, plus précisément
pour x 2 2 ; la constante implicite n 'est pas effectctive.
Remarque 4.5.4
(1) La preuve de l'inégalité de Brun-Titchmarsh est complètement différente de ce
qui a été vu jusqu'à présent : les preuves connues sont toutes basées sur des méthodes
de crible, dont à peu près n'importe quelle variante peut être utilisée (crible de
Brun, crible de Selberg, grand crible additif ou multiplicatif, etc.), le résultat étant
éventuellement moins précis que (4.18), mais suffisant pour impliquer (4.19). On en
donnera une dans le Chapitre 5 (Exemple 5.3.14).
En particulier, les méthodes basées sur les fonctions L de Dirichlet sont (actuellement) inefficaces pour obtenir ce type de résultats. Il serait d'ailleurs extrêmement
intéressant d'avoir une démonstration de (4.18) ou (4.19) par le biais des fonctions L.
(2) Il est clair que cette fois il n'y a pas de problème d'effectivité. Le zéro exceptionnel Pe est cependant présent dans l'inégalité de Brun-Titchmarsh aussi, mais
caché derrière l'inoffensif nombre 2 ...
Proposition 4.5.5. - Si 1 'inégalité (4.18) est vraie avec la constante 2 - 6 a u lieu de 2 , pour
un6 > OJixé, o n a
pour tout zéro exceptionnel p, d'un caractère primitif réel modulo q, avec une constante implicite
absolue et effective. E n particulier les constantes C, d u Théorème (4.3.3) peuvent être rendues
effectives.
Cette proposition est bien connue (cJ: [HR, p. 1231) mais sans attribution particulière.
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004
Corollaire 4.5.2. - O n a
1
x
(4.19)
x ( x ; q, a ) «, - -
' P (4) 1%
pour tout q < xl-E avec E > O fixé, la constante dépendant de E .
On note la très grande uniformité de la majoration obtenue : elle va bien au
delà de ce que donne l'Hypothèse de Riemann directement (mais, étant une majoration, ne dit rien sur l'existence de nombres premiers ...) Puisque les valeurs de d
dans (4.15) ainsi que celles dans n(d2 + 1; d, 1) vérifient l'hypothèse du corollaire, on
en déduit (par le calcul (4.17) en prenant D = (log x ) ) :
Proposition 4.5.3 (Linnik [Li] ) . - L a Conjecture 4.2.2 est vraie, plus précisément
pour x 2 2 ; la constante implicite n 'est pas effectctive.
Remarque 4.5.4
(1) La preuve de l'inégalité de Brun-Titchmarsh est complètement différente de ce
qui a été vu jusqu'à présent : les preuves connues sont toutes basées sur des méthodes
de crible, dont à peu près n'importe quelle variante peut être utilisée (crible de
Brun, crible de Selberg, grand crible additif ou multiplicatif, etc.), le résultat étant
éventuellement moins précis que (4.18), mais suffisant pour impliquer (4.19). On en
donnera une dans le Chapitre 5 (Exemple 5.3.14).
En particulier, les méthodes basées sur les fonctions L de Dirichlet sont (actuellement) inefficaces pour obtenir ce type de résultats. Il serait d'ailleurs extrêmement
intéressant d'avoir une démonstration de (4.18) ou (4.19) par le biais des fonctions L.
(2) Il est clair que cette fois il n'y a pas de problème d'effectivité. Le zéro exceptionnel Pe est cependant présent dans l'inégalité de Brun-Titchmarsh aussi, mais
caché derrière l'inoffensif nombre 2 ...
Proposition 4.5.5. - Si 1 'inégalité (4.18) est vraie avec la constante 2 - 6 a u lieu de 2 , pour
un6 > OJixé, o n a
pour tout zéro exceptionnel p, d'un caractère primitif réel modulo q, avec une constante implicite
absolue et effective. E n particulier les constantes C, d u Théorème (4.3.3) peuvent être rendues
effectives.
Cette proposition est bien connue (cJ: [HR, p. 1231) mais sans attribution particulière.
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004