Démonstration. - Soit x modulo q un caractère réel primitif non trivial. L'analogue
pour n(x; q, a) de (3.46) est
li (x) x (a) li ( d e )
n(x;q,a) = - -
+O(xexp(-c JrogX))
(P (4)
(P (4)
pour x 2 2, q < x, avec c > O absolue et une constante implicite également absolue.
Rappelons que de plus
X
X
li(x) = -
log x
pour x 2 2.
L'hypothèse est qu'il existe 6 > O fixé tel que
pour x 2 2, q < x et (a,q) = 1.
Choisissons a tel que ~ ( a )
= -1 (puisque x est non trivial). En insérant (4.20), il
vient
puis, pour q < xa où O < cc < 1, l'inégalité
(où O < cl < 6). Puisque 6 > O, il existe cx > O tel que
2 - 6
-1 = 1 - 6 '
a v e c ~ ' > O , (prendre a < 6/2).
1 - a
Il est plus clair dans ce qui suit d'expliciter (4.21) et quitte à remplacer cl par
une constante plus petite (mais toujours > O), on voit qu'il existe Xo 2 1, d > 0,
constantes absolues et effectives, telles que pour tout x 2 Xo, q < xa, et tout zéro
exceptionnel Be, on a
Étant donné q 2 2, on choisit x tel que
= exp(: JG).
Il existe une constante absolue et effective Q (calculable à partir de la valeur de 6 )
telle que pour tout q > Q on a les inégalités
puisque cx est fixé et déterminé par 6 seul, et que x -+ +oo quand q -+ +m.