4.5. L'INÉGALITÉ DE BRUN-TITCHMARSH
1 05
Maintenant, pour tout q > Q pour lequel un zéro exceptionnel ( 3, existe, on a
pour x ainsi choisi
par (4.22), et donc
avec une constante implicite effective et absolue. Comme de plus les valeurs finies
q < Q vérifient trivialement une telle estimation, on en déduit le théorème.
17
Si la preuve ci-dessus a été présentée de manière si « pointilleuse », c'est bien sûr
pour qu'il n'y ait pas de doute quand à l'effectivité de l'estimation obtenue, puisque
c'est là toute la difficulté ...
Remarque 4.5.6. - Dans (2.30) on a une formule asymptotique forte avec deux
termes principaux de taille x log x et x, respectivement. Ceci est naturel et provient
du fait que la série de Dirichlet associée à .c (n) à un pôle d'ordre 2 en s = 1. On peut
se demander si un tel phénomène reste vrai pour le problème des diviseurs de Titchmarsh : c'est effectivement le cas, mais la preuve est singulièrement plus difficile.
Le résultat démontré indépendamment par Bombieri-Friedlander-Iwaniec [BR] et
Fouvry [Fou] est qu'il existe une constante cl > O (explicite) telle que
X
X
C ~ ( p - 1) =cx+qP < x
log x
quand x + +m.
L'analyse de l'argument présenté dans ce chapitre démontre qu'il n'est plus
possible de traiter les « grands modules » par la majoration de Brun-Titchmarsh
(c$ (4.16) et (4.17)) car les estimations obtenues ne suffisent pas. La clé est de
dépasser la limite Q < y'/2 (log y) dans le théorème de Bombieri-Vinogradov,
précisément d'étendre ce résultat à 4 = y'/2+8 avec 6 > O. Pour saisir la difficulté
de cela, il suffit de noter que cela n'est pas possible directement en
d'erreur individuels
utilisant les termes
donnés par l'Hypothèse de Riemann Généralisée (Proposition
plutôt que (4.13) et (4.14) avec Q = 1/2+S (qui n'est pas encore
Friedlander-Iwaniec ont démontré une variante du type
4.1.2, (2)). En fait
connu), Bombieripour tout A 2 1, la constante dépendant de E > O, a et A (noter que le « reste » a est
fixé ; ce n'est pas gênant en général, par exemple a = 1 est constant dans le problème
des diviseurs de Titchmarsh). Ici le « poids » yq peut être n'importe quelle fonction
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004
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Maintenant, pour tout q > Q pour lequel un zéro exceptionnel ( 3, existe, on a
pour x ainsi choisi
par (4.22), et donc
avec une constante implicite effective et absolue. Comme de plus les valeurs finies
q < Q vérifient trivialement une telle estimation, on en déduit le théorème.
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Si la preuve ci-dessus a été présentée de manière si « pointilleuse », c'est bien sûr
pour qu'il n'y ait pas de doute quand à l'effectivité de l'estimation obtenue, puisque
c'est là toute la difficulté ...
Remarque 4.5.6. - Dans (2.30) on a une formule asymptotique forte avec deux
termes principaux de taille x log x et x, respectivement. Ceci est naturel et provient
du fait que la série de Dirichlet associée à .c (n) à un pôle d'ordre 2 en s = 1. On peut
se demander si un tel phénomène reste vrai pour le problème des diviseurs de Titchmarsh : c'est effectivement le cas, mais la preuve est singulièrement plus difficile.
Le résultat démontré indépendamment par Bombieri-Friedlander-Iwaniec [BR] et
Fouvry [Fou] est qu'il existe une constante cl > O (explicite) telle que
X
X
C ~ ( p - 1) =cx+qP < x
log x
quand x + +m.
L'analyse de l'argument présenté dans ce chapitre démontre qu'il n'est plus
possible de traiter les « grands modules » par la majoration de Brun-Titchmarsh
(c$ (4.16) et (4.17)) car les estimations obtenues ne suffisent pas. La clé est de
dépasser la limite Q < y'/2 (log y) dans le théorème de Bombieri-Vinogradov,
précisément d'étendre ce résultat à 4 = y'/2+8 avec 6 > O. Pour saisir la difficulté
de cela, il suffit de noter que cela n'est pas possible directement en
d'erreur individuels
utilisant les termes
donnés par l'Hypothèse de Riemann Généralisée (Proposition
plutôt que (4.13) et (4.14) avec Q = 1/2+S (qui n'est pas encore
Friedlander-Iwaniec ont démontré une variante du type
4.1.2, (2)). En fait
connu), Bombieripour tout A 2 1, la constante dépendant de E > O, a et A (noter que le « reste » a est
fixé ; ce n'est pas gênant en général, par exemple a = 1 est constant dans le problème
des diviseurs de Titchmarsh). Ici le « poids » yq peut être n'importe quelle fonction
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