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CHAPITRE 3. LE THÉORÈME DES NOMBRES PREMIERS
Exercice 3.4.7. - Prendre l'énoncé de la loi de réciprocité quadratique trouvé dans
l'une des références mentionnées dans la Remarque 3.3.10, et en déduire directement le Corollaire 3.4.6.
Appendice : résultats d'analyse complexe
Nous regroupons ici quelques résultats purement analytiques et bien connus qui
ont été utilisés dans la preuve du théorème des nombres premiers. Nous donnons
des indications de preuve en plus de références.
Le premier lemme, souvent appelé principe de Phragmen-Lindelof, généralise le
principe du maximum à certaines régions non bornées du plan, moyennant une
hypothèse de croissance relativement faible.
Lemme 3.A.I. - Soit f u n e fonction holomorphe déjînie sur u n e bande vertical A ,< o < B .
Soient A < a < b < B et supposons que
(i) O n a p o u r t E R
1 f ( a + i t ) / < ~ ( a ) l s l ~ ( " )
et 1 f ( b + i t ) ] 6 c ( b ) ~ s ] ~ ( ~ ) ) .
(ii) Il existe o: > O tel que
o ù l ( 0 ) est la fonction affine telle que l ( a ) = 1 et l ( b ) = 0 .
Voir, par exemple, [Tl, 5.61, [Ru, 12.7-101 pour la preuve (parfois dans un cas un
peu différent, mais facilement adaptable).
DéJinition 3.A.2. - Une fonction entière f : C + C est dite d'ordre a u plus 1 si elle
vérifie
pour tout E > 0.
Exemple 3.A.3. - La formule de Stirling (2.18) démontre que f ( s ) = T ( s ) -' est une
fonction d'ordre au plus 1.
Théorème 3.A.4. - Soit f u n e fonction entière d'ordre a u plus 1 . Alors
(1) Les zhos n o n nuls (p, ) de f vhJient
pour tout E > 0.
COURS SPÉCIALISÉS 13
CHAPITRE 3. LE THÉORÈME DES NOMBRES PREMIERS
Exercice 3.4.7. - Prendre l'énoncé de la loi de réciprocité quadratique trouvé dans
l'une des références mentionnées dans la Remarque 3.3.10, et en déduire directement le Corollaire 3.4.6.
Appendice : résultats d'analyse complexe
Nous regroupons ici quelques résultats purement analytiques et bien connus qui
ont été utilisés dans la preuve du théorème des nombres premiers. Nous donnons
des indications de preuve en plus de références.
Le premier lemme, souvent appelé principe de Phragmen-Lindelof, généralise le
principe du maximum à certaines régions non bornées du plan, moyennant une
hypothèse de croissance relativement faible.
Lemme 3.A.I. - Soit f u n e fonction holomorphe déjînie sur u n e bande vertical A ,< o < B .
Soient A < a < b < B et supposons que
(i) O n a p o u r t E R
1 f ( a + i t ) / < ~ ( a ) l s l ~ ( " )
et 1 f ( b + i t ) ] 6 c ( b ) ~ s ] ~ ( ~ ) ) .
(ii) Il existe o: > O tel que
o ù l ( 0 ) est la fonction affine telle que l ( a ) = 1 et l ( b ) = 0 .
Voir, par exemple, [Tl, 5.61, [Ru, 12.7-101 pour la preuve (parfois dans un cas un
peu différent, mais facilement adaptable).
DéJinition 3.A.2. - Une fonction entière f : C + C est dite d'ordre a u plus 1 si elle
vérifie
pour tout E > 0.
Exemple 3.A.3. - La formule de Stirling (2.18) démontre que f ( s ) = T ( s ) -' est une
fonction d'ordre au plus 1.
Théorème 3.A.4. - Soit f u n e fonction entière d'ordre a u plus 1 . Alors
(1) Les zhos n o n nuls (p, ) de f vhJient
pour tout E > 0.
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