pour tout x 2 2, q 2 1 et (a, q) = 1, p, étant l'éventuel zéro exceptionnel comme
précédemment.
Nous terminons par la preuve de la Proposition 1.3.1 qui est importante pour le
théorème principal du cours.
Corollaire 3.4.6. - Soit D > O un entier: On a
quand x --+ +oo.
Démonstration. - D'après (1.4) et le Lemme 1.3.2, (ii) , on a
Quand D = 1, on a vu (Lemme 1.3.3, (iv) ) que ceci se transforme aussi en
X
p(x) = 21c(x; 4 , l ) + 1 - - log x - 4 4
par le Théorème des Nombres Premiers. Dans le cas général, la difficulté est que
l'application
pourrait bien ( a fn-io~) être assez obstinée pour prendre presque toujours la même
valeur. Ce n'est pas le cas en raison de la loi de réciprocité quadratique déjà mentionnée dans la Remarque 3.3.10. Nous en faisons un énoncé un peu excentrique(3) : il
existe un caractère de Dirichlet réel, primitif et non trivial X , modulo un diviseur Dl
de 4 0 (qui pourrait être décrit explicitement) tel que
pour Re(s) > 1. Par unicité des développements en série de Dirichlet (ProposiEn divisant dans (3.48) les p suivant les classes de congruence modulo Dl, on trouve
pour x 2 2, d'où p(x) - .n (x) en utilisant le Théorème des Nombres Premiers pour
chaque n(x; DI, a) et le fait que
C x w = o
a (mod D')
puisque x est non trivial.
O
(3)Mais qui se justifie par son petit air de famille avec de nombreux résultats ultérieurs culminant avec la
conjecture de modularité dont la preuve fournit à Wiles celle du Grand Théorème de Fermat.
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004