Démontrer que la transformée de Mellin f(s) est holomorphe pour o > O et vérifie
uniformément pour 1/2 < o < 2, la constante implicite étant absolue. [Indication :
Faire un calcul explicite pour démontrer que
et utiliser le théorème des accroissements finis.]
(2) En déduire que
c ~ ( n ) f ( n )
= ' ( ~ ( 1 )
- ~ ( a ) y ' e f ( ~ e ) )
+ Q((Y + 2) exp(-c~logCy+z)))
n=a (mod q )
Y (4)
où c > O est une constante absolue.
(3) En choisissant convenablement la valeur de z, démontrer alors que
pour tout y >, 2, q 2 1 et (a, q) = 1, la constante c > O ainsi que la constante
implicite étant absolue (mais, bien entendu, l'éventuel Pe n'est pas connu et il est
omis s'il n'existe pas).
Exercice3.4.5. - Une autre méthode est basée sur la formule de Perron, qui permet
d'exprimer directement la fonction sommatoire d'une fonction arithmétique au prix
de complications d'analyse harmonique.
(1) Démontrer que pour y > O, y # 1, T > O et c > O on a la formule de Perron
approchée
où
{
1
s i y > 1
H ( y ) = 1/2 s i y = 1
O
s i O < y < l
[Indication : Utiliser la formule de Cauchy dans un rectangle dont on déplacera le
second côté vertical vers la droite ou vers la gauche.]
(2) Démontrer alors que pour T 2 2 et x caractère primitif modulo q on a
(3) Démontrer de nouveau qu'il existe c > O telle que
COURS SPÉCIALISÉS 13