3.4. LE THÉORÈME DES NOMBRES PREMIERS
Ces deux estimations ensembles donnent
Le second terme (venant des valeurs de s proches de 1) doit être considéré
comme le plus important. Cela explique le choix de A pour équilibrer entre A et
exp(-(logy) (logq(A + 2))-') -
Fixons une constante c2 > O telle que cg < d/2c. On va supposer d'abord que
log q < $ J G . Dans ce cas, on peut choisir A tel que log q(A + 2) = c2 JG, ce
qui implique en particulier log(A + 2) 2 $ J G , en particulier A » 1 puisque
Y 2 2.
Il vient donc
(log q)2 « log y,
1 + A
(puisque A < q(A + 2) ). Ceci donne bien (3.45) pour toute constante c > O telle que
c < (d/2c) - c2.
Si au contraire log q 2 $ J&, on remarque que l'on a la borne triviale
C ~ ( n ) > 1 ( 5 ) < ( 1 + ~ ) ( Y + l ) < y e x p ( - c r J i , , , )
n=a (mod q )
4
si cg < c2/2. L'estimation (3.40) est donc en définitive valide dans tous les cas avec
cl = inf (c2/2, (d/2c) - c g ) .
O
Remarque 3.4.3. - Comme on l'a remarqué dans la preuve, bien que l'estimation
obtenue soit valide pour tout q > 1 et tout y 2 1, elle devient pire que l'estimation
triviale dès que q > exp (c1'J=)
.
En pratique une conséquence immédiate souvent utilisée est
1
Y
C A ( ~ ) T ( Y / ~ )
= -(?(I)Y
- x ( ~ ) ? ( P ~ ) Y ' ~ )
+ Q ( ~ )
n ~ a
(mod q )
(P (4)
(1% Y)
pour tout A > O, la constante implicite dépendant de A et seulement.
Exercice3.4.4. - Démontrer que l'énoncé du Théorème 3.4.1 est valable sans « lissage » de la manière suivante :
(1) Soit y, z > O tels que z < y et f la fonction
( 0
six > y + z .
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004