où i ? consiste en le segment de droite de 3 - iT à 3 + iT, le segment de 3 + iT à
s (T) E Z , la courbe 3 depuis ce point jusqu'au symétrique s(-T) , et le segment
horizontal qui ferme le contour.
Cette intégrale est bien définie si T > O puisque le contour ne peut rencontrer
de zéro de L(x, s) . Par le théorème de Cauchy on déduit (3.44) car les contributions
horizontales tendent vers O quand T + +oo, par exemple
pour tout A > 0.
Ayant démontré (3.44), l'estimation (3.40) sera achevée par (3.42) si l'on prouve
qu'il existe ci > O telle que l'estimation
2
soit valide, la constante implicite ne dépendant que de 7 .
On a
I = -
- - (x, 1 - do(t) + it)?j(l - da (t) + i t ) ~ - ~ ~ ( ' ) + " d t .
Pour évaluer la dernière intégrale, on sépare l'intégration en It 1 < A et It 1 > A, où
A > O sera choisi ultérieurement. Dans le premier cas, t est « petit » et l'on majore
séparément
d'où
- - (x, 1 - do (t) + it)?j(l - da (t) + it)y-do(t)+itdt
« ~ ( l o g q ( ~
+ 2 ) ) 2 exp(- do(^) logy),
tandis que pour Itl > A on écrit
L '
-(x, 1 - do@) + it) « (logq(lt1 + 2))2
L
?j(l - do(t) + it)
(1 +
pour tout E > O
Y -dD(t)+it « 1,
donc (fixant E > O quelconque pour compenser log t )
Li
- - (x, 1 - do (t) + it)?j(l - do (t) + it)y-do(t)+itdt « (log q) (1 + A) l .
COURS SPÉCIALISÉS 13