donc
Démonstration du Théorème 3.4.1. - On a par orthogonalité
chlet (2.39)
6 + O.
0
des caractères de DiriPour évaluer cette dernière somme on veut déplacer le contour d'intégration. En
raison du peu de choses connues concernant la localisation des pôles de la dérivée
logarithmique de L (x, s) , il faut être plus attentif que dans la Section 2.3. On veut
ramener l'intégrale sur le << bord >> de la région sans zéro du Théorème 3.3.2, mais il
faut pouvoir contrôler la taille de L1/L, ce qui requiert de déplacer ce bord un peu
et de faire appel à (3.21). Une dernière complication de détail est qu'il faut s'assurer
que ce nouveau contour ne passe pas trop près du zéro exceptionnel P,, s'il existe.
Précisément, soit c > O donné par le Théorème 3.3.2. On peut choisir d = 1 ou
1/2 tel que P, (s'il existe) soit à une distance (46 log ~ 4 ) ~ '
du contour formé par
la courbe paramétrée s(t) = 1 - do(t) + it pour t E R (voir (3.19)). À part les pôle
simples en s = 1 pour x = E~ de résidu 1 et (éventuellement) en s = Pe, de résidu
-1, il n'y a pas de pôle de (L1/L) (x, s) sur le contour 3 ou sur sa droite. Grâce
à (3.21) on a alors sur le contour 3 lui-même la borne
T 1
avec une constante implicite absolue (s (t) est assez éloigné de Pe et de 1 ) .
On peut alors déplacer le contour d'intégration vers 27 et écrire
(le second terme n'existe que si pe existe et se trouve à droite(*) de 3 ) .
Pourjustifier ce déplacement, remarquons d'abord que l'intégrale sur 3 est effectivement convergente d'après la majoration (3.21) et la décroissance rapide de ?(s).
La preuve de (3.44) procède alors comme dans la Section 2.3 : on considère l'intégrale
(')Si ce n'est pas le cas, il n'est plus vraiment exceptionnel, mais on peut le rajouter de toute manière sans
erreur.
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004
Démonstration du Théorème 3.4.1. - On a par orthogonalité
chlet (2.39)
6 + O.
0
des caractères de DiriPour évaluer cette dernière somme on veut déplacer le contour d'intégration. En
raison du peu de choses connues concernant la localisation des pôles de la dérivée
logarithmique de L (x, s) , il faut être plus attentif que dans la Section 2.3. On veut
ramener l'intégrale sur le << bord >> de la région sans zéro du Théorème 3.3.2, mais il
faut pouvoir contrôler la taille de L1/L, ce qui requiert de déplacer ce bord un peu
et de faire appel à (3.21). Une dernière complication de détail est qu'il faut s'assurer
que ce nouveau contour ne passe pas trop près du zéro exceptionnel P,, s'il existe.
Précisément, soit c > O donné par le Théorème 3.3.2. On peut choisir d = 1 ou
1/2 tel que P, (s'il existe) soit à une distance (46 log ~ 4 ) ~ '
du contour formé par
la courbe paramétrée s(t) = 1 - do(t) + it pour t E R (voir (3.19)). À part les pôle
simples en s = 1 pour x = E~ de résidu 1 et (éventuellement) en s = Pe, de résidu
-1, il n'y a pas de pôle de (L1/L) (x, s) sur le contour 3 ou sur sa droite. Grâce
à (3.21) on a alors sur le contour 3 lui-même la borne
T 1
avec une constante implicite absolue (s (t) est assez éloigné de Pe et de 1 ) .
On peut alors déplacer le contour d'intégration vers 27 et écrire
(le second terme n'existe que si pe existe et se trouve à droite(*) de 3 ) .
Pourjustifier ce déplacement, remarquons d'abord que l'intégrale sur 3 est effectivement convergente d'après la majoration (3.21) et la décroissance rapide de ?(s).
La preuve de (3.44) procède alors comme dans la Section 2.3 : on considère l'intégrale
(')Si ce n'est pas le cas, il n'est plus vraiment exceptionnel, mais on peut le rajouter de toute manière sans
erreur.
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004