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CHAPITRE 3. LE THÉORÈME DES NOMBRES PREMIERS
3.4. Le théorème des nombres premiers
Nous allons d'abord démontrer une version lisse, avec un terme d'erreur assez
bon, du théorème des nombres premiers.
Pour q > 1 donné, on note comme ci-dessus X, l'éventuel caractère exceptionnel
admettant un zéro réel (3, dans la région (3.19). Si X, n'existe pas, les termes cidessous où il apparaît doivent être omis.
Théorème 3.4.1. - Soit q 2 1 , a 2 1 tel que (a, q) = 1 . Soit 7 un majorant lisse de [O, 11
d 7amplitude 1 + 6 . Alors pour tout y > 1 on a
n=a (mod q)
où c > O est une constante absolue et la constante implicite ne dépend que de 3.
Noter que pour tout c > O et A > O, on a
(3.41)
e x p ( - 4 G 3 «A,C log^)-^
pour y 2 2, la constante ne dépendant que de A et c.
Corollaire 3.4.2. - Soit q 2 1 et (a, q) = 1. Alors on a
X
1 x
$ (x; 4, a) - - et n(x;q,a) - -- quand x -+ +oo
cp (4)
' P (4) 1%
Démonstration d u corollaire. - Par sommation par partie, comme dans le cas de +(x)
et n(x) déjà traité, il suffit de démontrer la première équivalence.
Puisque ici q est fixé et que ( 3, < 1 si le caractère exceptionnel existe (il ne serait
pas même nécessaire de savoir qu'il y a au plus un caractère X, exceptionnel), le
Théorème 3.4.1 donne par positivité
n=a (mod q )
' P (4)
quand x -+ +m, pour tout choix de
d'amplitude 1 + 6 > 1. Donc
et pour 6 -+ O, on obtient par (2.22)
lim sup
+(.; 4, a)
1
X
' ~ ( 4 )
'
n=a (mod q )