Le cas le pire est (bien entendu) y = O, où on trouve 1 - p > $l(0)-' qui est
donc une région contenant au plus un zéro, forcément réel et simple, de L(x,s).
(Correspondant à p l ci-dessus, ou au cas où L(x, s) a un seul zéro réel sur lequel on
n'a rien pu dire). D'après la Proposition 3.3.8, ce zéro éventuel P vérifie P < 1.
Il reste encore pour finir la preuve à établir qu'un seul caractère primitif modulo q
peut avoir un zéro exceptionnel. Si q est impair, ou si q = 4q' avec q' = 1 (mod 2),
c'est évident car il existe alors au plus un caractère réel primitif modulo q. Mais si
8 1 q, il peut en exister plusieurs (cf: Exemple 2.4.8, (3) ) . On peut cependant dans ce
cas appliquer le Lemme 3.3.12 ci-dessous dû à Landau.
La vérification de la majoration (3.21) dans la région (3.20) est donnée aussitôt
par l'approximation (3.26) : pour s vérifiant (3.20), on a 1st 2 1/2 et 1s - pl 2
inf (o (t) /2,1) pour tout zéro p # Pe de L (x, s) , donc
et par définition de o(t) et (3.25), le résultat en découle.
0
Lemme 3.3.12. - Soient ql , q2 >, 2 et XI, ~2 des caractères primitifs réels distincts modulo
ql et q2 respectivement. Soient pi un zéro réel de L (xi, s) . II existe une constante absolue c telle
que
Démonstration. - Il s'agit encore d'une application d'une inégalité similaire à (3.23).
Cette fois on remarque que pour o > 1 on a
L'hypothèse XI # x g implique que ~3 = ~ 1 x 2
est un caractère non trivial modulo
qlq2 (pas forcément primitif). Appliquant encore (3.27) avec X = {Pi) pour L(xi, s) ,
et X = 0 pour L (x3, s) , on trouve
avec l = c log q pour une certaine constante absolue c > O. En prenant o = 1 + (2l)-'
on vérifie aussitôt que
1
inf (Pl, P2) < 1 - -. 6e
Exercice 3.3.13. - Optimiser les arguments précédents à partir de (3.37) et vérifier
qu'il n'est pas possible d'en déduire une région sans zéros plus importante, à la valeur
de la constante c près.
donc une région contenant au plus un zéro, forcément réel et simple, de L(x,s).
(Correspondant à p l ci-dessus, ou au cas où L(x, s) a un seul zéro réel sur lequel on
n'a rien pu dire). D'après la Proposition 3.3.8, ce zéro éventuel P vérifie P < 1.
Il reste encore pour finir la preuve à établir qu'un seul caractère primitif modulo q
peut avoir un zéro exceptionnel. Si q est impair, ou si q = 4q' avec q' = 1 (mod 2),
c'est évident car il existe alors au plus un caractère réel primitif modulo q. Mais si
8 1 q, il peut en exister plusieurs (cf: Exemple 2.4.8, (3) ) . On peut cependant dans ce
cas appliquer le Lemme 3.3.12 ci-dessous dû à Landau.
La vérification de la majoration (3.21) dans la région (3.20) est donnée aussitôt
par l'approximation (3.26) : pour s vérifiant (3.20), on a 1st 2 1/2 et 1s - pl 2
inf (o (t) /2,1) pour tout zéro p # Pe de L (x, s) , donc
et par définition de o(t) et (3.25), le résultat en découle.
0
Lemme 3.3.12. - Soient ql , q2 >, 2 et XI, ~2 des caractères primitifs réels distincts modulo
ql et q2 respectivement. Soient pi un zéro réel de L (xi, s) . II existe une constante absolue c telle
que
Démonstration. - Il s'agit encore d'une application d'une inégalité similaire à (3.23).
Cette fois on remarque que pour o > 1 on a
L'hypothèse XI # x g implique que ~3 = ~ 1 x 2
est un caractère non trivial modulo
qlq2 (pas forcément primitif). Appliquant encore (3.27) avec X = {Pi) pour L(xi, s) ,
et X = 0 pour L (x3, s) , on trouve
avec l = c log q pour une certaine constante absolue c > O. En prenant o = 1 + (2l)-'
on vérifie aussitôt que
1
inf (Pl, P2) < 1 - -. 6e
Exercice 3.3.13. - Optimiser les arguments précédents à partir de (3.37) et vérifier
qu'il n'est pas possible d'en déduire une région sans zéros plus importante, à la valeur
de la constante c près.