Avec (3.36), on trouve donc
Il est plus clair ici de préciser le terme d'erreur. Il existe une constante absolue
c > O telle que pour t(t) = clog(q(ltl + 2)) on a
3
1
1
1
6 --- 0 - 1 + 4 8 ( ~ )
Re(o - + it ) + ' ( X ~ ) R ~ ( ~
- 1 +2it ) + 2 ~ ( t )
pour o 2 1 et tout X.
Soit maintenant p = p + iy un zéro quelconque de L(x, s). On considère t = y
donc s - p E R. Si x = 1, puisque <(s) a un pôle en s = 1, donc aucun zéro dans
un voisinage de s = 1, on peut supposer, en choisissant c assez grande, que l'on a
également
(en fait le zéro non trivial de plus petit module de c(s) est sur la droite critique avec
Im(p) = 14.134725. . . ) .
Si x = 1 ou X2 # E ~ ,
c'est-à-dire si x n'est pas un caractère réel non trivial, on
prend X = {p) dans (3.37) et il vient
4
3
(3.38)
< --- + q y ) .
O - p
0 - 1
Cette inégalité est clairement impossible si o est proche de 1 et p également. Posant
o = 1 + (2t (y) ) -' , on trouve
1
1-p>--- 14t(Y)
qui donne une région sans zéros de la forme désirée.
Si x est réel et non trivial, par contre, il faut tenir compte du terme avec X2
dans (3.37). Si p est un zéro complexe, on prend X = {p, p}. Si p E R, la situation devient presque désespérée : on choisit alors X = {p, pl} où p' > p est un autre
zéro de L ( x , s) s'il existe (on peut prendre p' = p si p est un zéro multiple). Dans les
deux cas on a par (3.37)
Si (3.38) n'est pas vraie, il faut alors que