3.3. LES ZÉROS DES FONCTIONS L DE DIRICHLET
Démonstration. - On écrit par orthogonalité comme pour (3.1)
1
C p-" = -
p ~ a
(mod q)
C X(a> C x(fi>p-o,
Y ( 4 ) x (mod y )
P
pour o > 1, et comme pour (2.6), on a à partir du produit eulérien
quand o + 1. Pour x non trivial, puisque L ( x , 1 ) # O, cela démontre que
et pour x = on a
par (2.4). Finalement on obtient
1
p-" = - i l o g ( o - 1 ) + 0 ( 1 ) - -p=a (mod q)
(P ( 4 )
Nous finissons maintenant d'établir la région sans zéros pour les fonctions L .
Démonstration d u Théorème 3.3.2. - Puisque les zéros supplémentaires des fonctions L
non primitives sont situés sur la droite o = O , on peut supposer x primitif. On utilise
l'inégalité trigonométrique (3.23), mais pour la dérivée logarithmique.
On a pour o > 1 le développement
donc
Par (3.23) on a pour n 1
3 + 4 ~e ( x ( n ) n-it) + Re (X ( n ) 2n-2it) ) 0
donc en sommant sur n , pour o > 1 on a
On applique maintenant (3.26), ou plutôt le corollaire (3.27). Pour c ( s ) et L ( ~ ~ ,
s )
on prend X = 0 , et pour L ( x , s ) un sous-ensemble fini X de zéros non triviaux.