(où & est l'anneau des entiers de K). Les propriétés v(n) 2 O et v(n2) 2 1 sont
alors évidentes puisque n2 = N (n) .
Il y a également un rapport avec l'heuristique ci-dessus : on peut noter que v (p) =
1 + ~ ( p )
est nul si et seulement si ~ ( p )
= -1 = ~ ( p ) .
Cela veut dire que l'estimation (3.32) pourrait être améliorée si l'on savait qu'il existe beaucoup de p petits tels
que ~ ( p )
= 1. Le problème est qu'aucune raison évidente n'empêche à x de « ressembler à Mobius » pour ce qui est de ses valeurs aux nombres premiers. Cependant
on a (p2) = 1 # (p2) ( ! ) , et c'est la source de la minoration (3.32).
On peut voir d'après la formule de Dirichlet (3.35) que (pour x impair disons),
L(1, X) est d'autant plus petit que h(K) est petit. D'après (3.33) et (3.32), cela correspond assez clairement à la possibilité que Mv soit petit, donc au parallélisme entre
X et P.
À titre d'exemple, assez frappant, voici la table des valeurs x (p) pour x le caractère
quadratique (impair) de conducteur 163, correspondant au corps quadratique imaginaire K = ~ ( d - 1 6 3 )
de discriminant - 163, le plus grand discriminant < O, en
valeur absolu, pour lequel h(K) = 1 (ceci avait été conjecturé par Gauss, et prouvé
par Heegner, Stark et Baker ; voir par exemple [Ba, Ch. 51 ) .
On a donc ici ~ ( p )
= p(p) pour p < 41 ; quelques expériences avec d'autres valeurs
de q convaincront le lecteur du fait qu'il s'agit d'un cas exceptionnel. (Par exemple,
pour q premier < 163, le plus petit nombre premier p tel que x (p) = 1 verifie p < 17,
où x est le caractère quadratique réel primitif modulo q ) .
À ce sujet, voir aussi la Remarque 4.3.5.
Il découle déjà de la Proposition 3.3.8 la variante de l'énoncé (2.4) d'Euler pour
les nombres premiers dans les progressions arithmétiques, et en particulier qu'il en
existe une infinité, le résultat original de Dirichlet [Di].
Corollaire 3.3.1 1. - Soit q 2 1 et a tel que (a, q) = 1 . Alors on a
1
C p - " - - ~ l 0 ~ ( 1 - 1 ) q u a l ~ d ~ i l .
p ~ a
(mod q)
(P (4)
Dans cet énoncé, on ne s'inquiète pas de l'uniformité des estimations par rapport à
q, qui est considéré comme une constante. D'où des inégalités comme q = O ( l ) , etc.
alors évidentes puisque n2 = N (n) .
Il y a également un rapport avec l'heuristique ci-dessus : on peut noter que v (p) =
1 + ~ ( p )
est nul si et seulement si ~ ( p )
= -1 = ~ ( p ) .
Cela veut dire que l'estimation (3.32) pourrait être améliorée si l'on savait qu'il existe beaucoup de p petits tels
que ~ ( p )
= 1. Le problème est qu'aucune raison évidente n'empêche à x de « ressembler à Mobius » pour ce qui est de ses valeurs aux nombres premiers. Cependant
on a (p2) = 1 # (p2) ( ! ) , et c'est la source de la minoration (3.32).
On peut voir d'après la formule de Dirichlet (3.35) que (pour x impair disons),
L(1, X) est d'autant plus petit que h(K) est petit. D'après (3.33) et (3.32), cela correspond assez clairement à la possibilité que Mv soit petit, donc au parallélisme entre
X et P.
À titre d'exemple, assez frappant, voici la table des valeurs x (p) pour x le caractère
quadratique (impair) de conducteur 163, correspondant au corps quadratique imaginaire K = ~ ( d - 1 6 3 )
de discriminant - 163, le plus grand discriminant < O, en
valeur absolu, pour lequel h(K) = 1 (ceci avait été conjecturé par Gauss, et prouvé
par Heegner, Stark et Baker ; voir par exemple [Ba, Ch. 51 ) .
On a donc ici ~ ( p )
= p(p) pour p < 41 ; quelques expériences avec d'autres valeurs
de q convaincront le lecteur du fait qu'il s'agit d'un cas exceptionnel. (Par exemple,
pour q premier < 163, le plus petit nombre premier p tel que x (p) = 1 verifie p < 17,
où x est le caractère quadratique réel primitif modulo q ) .
À ce sujet, voir aussi la Remarque 4.3.5.
Il découle déjà de la Proposition 3.3.8 la variante de l'énoncé (2.4) d'Euler pour
les nombres premiers dans les progressions arithmétiques, et en particulier qu'il en
existe une infinité, le résultat original de Dirichlet [Di].
Corollaire 3.3.1 1. - Soit q 2 1 et a tel que (a, q) = 1 . Alors on a
1
C p - " - - ~ l 0 ~ ( 1 - 1 ) q u a l ~ d ~ i l .
p ~ a
(mod q)
(P (4)
Dans cet énoncé, on ne s'inquiète pas de l'uniformité des estimations par rapport à
q, qui est considéré comme une constante. D'où des inégalités comme q = O ( l ) , etc.