Dirichlet avait basé sa propre preuve sur la formule analytique du nombre de
classes d'idéaux d'un corps quadratique qu'il avait démontrée précédemment. Celleci fait appel à la correspondance, remontant essentiellement à Gauss, entre extensions quadratiques K/Q et caractères réels primitifs. Si K/Q est une extension de
degré 2, il existe un caractère quadratique réel primitif de x conducteur égal à la
valeur absolue \ A \ de son discriminant A E Z, qui vérifie la proprié té suivante : un
nombre premier p est scindé dans K si et seulement si x(p) = 1. De plus, tout caractère quadratique primitif s'obtient par cette méthode.
Par exemple, si K = Q(i), avec A = -4, le caractère x n'est autre que le caractère x 4 défini par (2.37), et la propriété annoncée est une réinterprétation du
Lemme 1.3.3, (iii). Le cas général est une des formes équivalentes de la loi de réciprocité quadratique de Gauss, qui sera utilisée dans la preuve de la Proposition 1.3.1
ci-dessous (Corollaire 3.4.6) ; on peut référer, par exemple, à [Se, 3.31, [IR, 5.21
ou [HW, 6.121 pour un énoncé précis ainsi que quelques-unes des nombreuses
preuves existan tes.
La suite de cette remarque utilise le vocabulaire élémentaire de la théorie algébrique des nombres, et peut être omise pour les lecteurs non familiers (qui sont
dirigés vers [IR], par exemple, pour une initiation relativement simple à cet aspect
de la théorie des nombres).
La formule de Dirichlet pour le corps quadratique K est la suivante :
si x est impair
m
si x est pair
où h(K) est le cardinal du groupe H (K) des classes d'idéaux de K, E est (pour K
quadratique réel, ce qui correspond à x pair) l'unité fondamentale de K, et w E
{2,4,6) est le nombre de racines de l'unité dans K.
Par exemple, on peut remarquer que si x = x 4 on a par (2.47)
ici w = 4 ({kl, f i) c Q ( i ) ) , A = -4, et donc h(Q(i)) = 1, ce qui confirme que Z[i]
est un anneau principal.
Dans tous les cas, l'inégalité h(K) 2 1 (car un groupe contient toujours un élément!) démontre que L(x, 1) # O.
Malgré la différence apparente entre les deux approches, il y a une connexion
claire : la fonction arithmétique v introduite dans la preuve ci-dessus n'est autre que
la fonction comptant les idéaux entiers de K de norme n :
classes d'idéaux d'un corps quadratique qu'il avait démontrée précédemment. Celleci fait appel à la correspondance, remontant essentiellement à Gauss, entre extensions quadratiques K/Q et caractères réels primitifs. Si K/Q est une extension de
degré 2, il existe un caractère quadratique réel primitif de x conducteur égal à la
valeur absolue \ A \ de son discriminant A E Z, qui vérifie la proprié té suivante : un
nombre premier p est scindé dans K si et seulement si x(p) = 1. De plus, tout caractère quadratique primitif s'obtient par cette méthode.
Par exemple, si K = Q(i), avec A = -4, le caractère x n'est autre que le caractère x 4 défini par (2.37), et la propriété annoncée est une réinterprétation du
Lemme 1.3.3, (iii). Le cas général est une des formes équivalentes de la loi de réciprocité quadratique de Gauss, qui sera utilisée dans la preuve de la Proposition 1.3.1
ci-dessous (Corollaire 3.4.6) ; on peut référer, par exemple, à [Se, 3.31, [IR, 5.21
ou [HW, 6.121 pour un énoncé précis ainsi que quelques-unes des nombreuses
preuves existan tes.
La suite de cette remarque utilise le vocabulaire élémentaire de la théorie algébrique des nombres, et peut être omise pour les lecteurs non familiers (qui sont
dirigés vers [IR], par exemple, pour une initiation relativement simple à cet aspect
de la théorie des nombres).
La formule de Dirichlet pour le corps quadratique K est la suivante :
si x est impair
m
si x est pair
où h(K) est le cardinal du groupe H (K) des classes d'idéaux de K, E est (pour K
quadratique réel, ce qui correspond à x pair) l'unité fondamentale de K, et w E
{2,4,6) est le nombre de racines de l'unité dans K.
Par exemple, on peut remarquer que si x = x 4 on a par (2.47)
ici w = 4 ({kl, f i) c Q ( i ) ) , A = -4, et donc h(Q(i)) = 1, ce qui confirme que Z[i]
est un anneau principal.
Dans tous les cas, l'inégalité h(K) 2 1 (car un groupe contient toujours un élément!) démontre que L(x, 1) # O.
Malgré la différence apparente entre les deux approches, il y a une connexion
claire : la fonction arithmétique v introduite dans la preuve ci-dessus n'est autre que
la fonction comptant les idéaux entiers de K de norme n :