On peut donc déplacer la droite d'intégration jusqu'à la droite a = 1/4, par
exemple, ce qui donne
Estimant trivialement l'intégrale, on trouve en comparant
pour y 2 2, la constante dépendant de x et 3. Cela implique L (x, 1) # O.
0
Exercice 3.3.9. - Donner une preuve complètement élémentaire en adaptant celle-ci
sans faire appel à l'intégration complexe :
(1) Démontrer que pour tout a > O on a par sommation partielle
pour y 2 2, la constante implicite dépendant de cr et q, et
pour une certaine constante c E R.
(2) Évaluer alors la somme
en écrivant
T (x) = C x (d) (nd)-'12
n d ~ x
et en sommant d'abord sur n ou d suivant que d < D ou d > D , D étant un paramètre
à fixer plus tard. Précisément, démontrer que
1
T (x) = ?L(x, l ) ~ ~ / ~
+ Q(Dx-'/~ + x'/~D-' )
(3) Démontrer que T (x) » log x, et conclure en choisissant D convenablement.
(4) Question subsidiaire : pourquoi a-t-on considéré ici v (n) n-'/2 au lieu de v (n) ,
voire de v (n) n-" avec cc # 1 /2 ?
Remarque 3.3.10. - Voici une façon de comprendre pourquoi les caractères réels, et
les zéros réels, sont plus délicats à traiter que les caractères complexes, similaire à
l'heuristique présentée avant l'argument de de la Vallée-Poussin. Pour que 1 + it soit
un zéro de L(x, s) il faut d'après cette heuristique que ~e (X(p)p-it) soit proche de
-1 pour la plupart des p, puisque x(P)P-" est de module 1. Il semble intuitivement
raisonnable de penser que cela a plus de chance d'arriver si x est réel, et si t = 0,
qu'autrement.