On a déjà utilisé dans la preuve de la Proposition 3.3.1 le résultat suivant, dû à
Dirichlet [Di], qui démontre que les fonctions L de Dirichlet ne s'annulent pas en
s = 1 et par conséquent, A(x, S) ne s'annule pas en O si x est primitif.
Proposition 3.3.8. - Soit q 2 1 et x un caractère de Dirichlet modulo q. Alors L(x, 1) # O.
Démonstration. - Puisque L(cq, S) a un pôle en s = 1 on peut supposer q 2 2, et
grâce à (2.48) on peut supposer x primitif.
Pour x non quadratique, on peut facilement adapter l'argument basé sur (3.23).
En effet, on trouve pour tout o > 1
Comme L ( E ~ ,
s) a un pôle simple en s = 1, et X2 # cq puisque x est supposé non
quadratique, cette inégalité implique L(x, 1) # O en faisant o -+ 1.
Si x est quadratique, cet argument, comme beaucoup d'autres (!) trouvés depuis,
ne peut réussir. Nous utiliserons ici une approche analytique très élémentaire inspirée
de notes d'Iwaniec.
Fixons donc un caractère quadratique primitif X. Soit v la fonction arithmétique
v = 1 * X. On a par multiplicativité
Comme (pk) E {- 1,0,1} , on a v (n) 2 O, et la minoration évidente mais cruciale
(chaque facteur dans le produit ci-dessus ayant k = 2k' et étant égal à 1 si x (fi) = 0,
2k+l si ~ ( p )
= 1 ou k(1- 1) + l = 1 si ~ ( p )
= -1). Cela nous donne une minoration
de la fonction sommatoire
Soit alors y un majorant lisse de la fonction caractéristique de [O, 11 d'amplitude 2. Pour y > O on a d'une part par positivité
et d'autre part on a, par transformation de Mellin,
pour tout c > 1, car Dv (s) = c(s) L(x, s) converge absolument pour o > 1. De
plus, Dv (s) est méromorphe sur C avec un unique pôle possible en s = 1 de résidu
L(x, l)?j(l)y, et elle a croissance polynomiale dans les bandes verticales.
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004