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CHAPITRE 3. LE THÉORÈME DES NOMBRES PREMIERS
(pour se débarrasser de la « constante » b ( x ) en prenant la différence de (3.24) en
deux valeurs), d'où
Si l'on isole les zéros proches de s, on peut estimer les termes restant dans la série
Par
par (3.29). Finalement on a aussi
par (3.25), ce qui termine la preuve de (3.26).
On en déduit (3.2'7) par positivité : si o 2 1 on a
pour tout zéro p. Donc si XI est le sous-ensemble des zéros de X qui sont proches
de s, on a
par (3.26). Finalement les zéros restants dans X vérifient
et on peut donc les rajouter quitte à augmenter la constante implicite dans l'inégalité.
Si x n'est pas primitif, on a quand même (3.2'7) grâce à (2.48) qui démontre (par
exemple) que si x est induit par X* modulo q* 1 q, on a pour o 2 1
avec une constant implicite absolue.
O
Remarque 3.3.7. - Si l'on normalise différemment la fonction A, comme dans la Remarque 3.2.2, la constante b qui apparaît dans les raisonnements n'est pas la même.
COURS SPÉCIALISÉS 13
CHAPITRE 3. LE THÉORÈME DES NOMBRES PREMIERS
(pour se débarrasser de la « constante » b ( x ) en prenant la différence de (3.24) en
deux valeurs), d'où
Si l'on isole les zéros proches de s, on peut estimer les termes restant dans la série
Par
par (3.29). Finalement on a aussi
par (3.25), ce qui termine la preuve de (3.26).
On en déduit (3.2'7) par positivité : si o 2 1 on a
pour tout zéro p. Donc si XI est le sous-ensemble des zéros de X qui sont proches
de s, on a
par (3.26). Finalement les zéros restants dans X vérifient
et on peut donc les rajouter quitte à augmenter la constante implicite dans l'inégalité.
Si x n'est pas primitif, on a quand même (3.2'7) grâce à (2.48) qui démontre (par
exemple) que si x est induit par X* modulo q* 1 q, on a pour o 2 1
avec une constant implicite absolue.
O
Remarque 3.3.7. - Si l'on normalise différemment la fonction A, comme dans la Remarque 3.2.2, la constante b qui apparaît dans les raisonnements n'est pas la même.
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