3.3. LES ZÉROS DES FONCTIONS L DE DIRICHLET
et on obtient donc
d'où la formule (3.28).
L'inégalité Re (b(x) ) < O est claire puisque Re (p-' ) = p 1 p - 2 > O ( a priori, seulement > O, mais d'après le Théorème 3.3.2, qui sera prouvé sans utiliser cette inégalité, et l'équation fonctionnelle, il n'y a pas de zéros de partie réelle nulle), et cela
donne aussi la convergence absolue.
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On peut maintenant démontrer le corollaire.
Démonstration. - Supposons x non trivial pour simplifier, le cas de c(s) étant plus
facile. L'idée est d'abord de prendre o assez grand dans (3.24) pour en déduire
des informations sur les zéros p, puis utiliser cela pour vérifier que les p éloignés
de s contribuent peu à la formule. Comme b ( x ) est mal contrôlé, on prend la partie
réelle.
Remarquons d'abord que, d'après la formule de Stirling dérivée (2.20), on a
dans la région concernée.
Soit s = 2 + i T avec T 2 2. On a trivialement
La série 2 Re (1/ (s - p) ) converge absolument par le Lemme 3.3.6, (4), et on a
(puisque O < P < 1)
de sorte qu'en prenant la partie réelle dans (3.24) et en utilisant (3.28), on obtient
(3.29)
« log qT,
pour T 2 2, la constante implicite étant absolue. On en déduit immédiatement (3.25)
par positivité.
Cela étant, on peut maintenant prendre s tel que s = o + it, 1/2 < o < 2, et
évaluer
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004