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CHAPITRE 3. LE THÉORÈME DES NOMBRES PREMIERS
( 5 ) Si b = b(x) est le nombre complexe dans (3.24), alors
cette série convergeant absolument.
Démonstration. - Le point (1) a déjà été expliqué : c'est une conséquence du produit
eulérien et de l'équation fonctionnelle.
Le point (2) provient d'une part de ce que A(X, s) = A(x,S) et de l'équation
fonctionnelle.
Le point (3) est un des éléments du Théorème 3.A.4 pour les fonctions entières
d'ordre 1.
Pour le point (4), on a pour s fixé, différent des zéros :
pour tout p, d'après (1) , de sorte que le résultat découle de (3).
Enfin, pour démontrer (5) on va encore utiliser l'équation fonctionnelle. Supposons x non trivial, le cas de c(s) étant laissé aux lecteurs. On a
ce qui donne
et en développant à l'aide de (3.24) et en écrivant les zéros de A@, s) , on a
Or il est clair que b(X) = b ( x ) puisque A (X, s) = A(x, S ) . Donc on a
Comme ci-dessus, on a pour tout s fixé hors des zéros
1
1
1
+
I=I l - Re(p) es pour /pl 2 2.
I L - ?
1 - 3
( s - p ) ( l - s - P ) l
p l
On peut donc réarranger la série absolument convergente sur p et utiliser le fait que
p' = 1 - 3 est un zéro de A(x, s) également pour écrire, lorsque s n'est pas un zéro
I
) = iim c (-+ 1
~ ( = + l - ~ - p
T - + r
@#O
lu\aT S - P
I - s - ~