Corollaire 3.3.5. - Soit q 2 1 et x un caractère de Dirichlet primitif modulo q .
( 1 ) Soit T 2 O . Le nombre m (T, X ) de zéros de L ( x , s ) v h j i a n t
satisfait
la constante implicite étant absolue.
(2) Pour O < o < 2, et s n'étant pas un zéro ou pôle de L (x, s ) on a
la constante implicite étant absolue.
(3) Soit o >, 1. Alors pour tout sous-ensemble $ni X des zéros non triviaux p de L (x, s )
on a
avec une constante implicite absolue. Cette formule est également valide si x n'est pas primitg
Le passage de la formule apparemment parfaite (3.24) à l'approximation (3.26)
peut sembler anodin mais c'est un exemple typique d'argument de théorie analytique
des nombres : la formule exacte fait intervenir une série et n'est que de peu d'utilité
dans les applications que l'on voudrait en faire sans une estimation explicite de la
vitesse de convergence (sans laquelle, par exemple, il serait difficile d'en déduire
une majoration (3.21) ) .
Voici d'abord quelques faits utiles concernant les zéros non triviaux.
Lemme 3.3.6. - Soit x primitg Notons p = p + i y les zéros de A(x, S) . Ils vhjient les
propriétés suivantes :
(1) 0 < P < 1.
(2) p est un zéro de A ( x , s ) avec multiplicité n si et seulement si p est un zéro de A(X, s )
avec multiplicité n, si et seulement si 1 - p est un zéro de A(X, s ) avec multiplicité n.
(3) Pour tout E > O , la série
converge absolument.
(4) Pour tout s E C qui n'estpas un zéro de A ( x , s ) , la s&e
converge absolument.
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004