pour o > 1, t E R, qui découle trivialement de la « sempiternelle D (dixit ~ e l i ~ n e ( ' ) )
inégalité trigonométrique
pour z = Izl exp(i0) E C et du développement
Du fait que l'exposant 4 de ((o + it) est supérieur à celui de ( ( O ) , on voit à partir
de (3.22) que ((1+ it) = O implique que ((o + 2it) + +oo quand o -+ 1, ce que l'on
sait être impossible. Donc ( ne s'annule pas pour o = 1.
Exercice3.3.3. - On peut démontrer que le théorème des nombres premiers est
équivalent à la non-annulation de ((s) pour o = 1. Démontrer ici que +(x) N x
implique en tout cas ((1 + it) # O pour t E R. [Indication : Utiliser une sommation
par partie. ]
La méthode de Hadamard-de la Vallée-Poussin s'étend pour démontrer le théorème 3.3.2, avec un peu de soin. La première étape est un lemme très utile qui permet de décomposer la dérivée logarithmique d'une fonction L dans tout le plan
complexe << en éléments simples >>.
Lemme 3.3.4. - Soit q >, 1 et x un caractère primitif modulo q . Il existe b(x) E C tel que
pour tout s E C qui n'est pas un zéro ou un pôle de L(x, s) , on a
la série portant sur les zhos non triviaux de L(x, s) convergeant absolument et uniformément
sur tout compact en dehors des singularités de - L' / L .
Démonstration. - Le Corollaire 3.2.5 et le Théorème 3.A.4 démontrent que pour tout
avec a E C, b = b(x) E C (noter que A(x, O) # O dans tous les cas, cf: la Proposition 3.3.1). Le produit porte ici sur les zéros non nuls de A(x, s) avec multiplicité,
c'est-à-dire les zéros non triviaux de L(x, s) .
Le produit étant uniformément convergent sur tout compact, on peut prendre
(l'opposée de) la dérivée logarithmique en dehors des zéros et obtenir
d'où (3.24).
(l)sempiternelle, peut-être, mais vengeresse : dans [De], elle est incorrectement écrite ...
COURS SPÉCIALISÉS 13