premiers, mais avec un terme d'erreur beaucoup moins bon que celui que donnerait
1'Hypo thèse de Riemann.
T h é o r h e 3.3.2. - Il existe une constante absolue c > O ayant la propriété suivante : pour
tout entier q 2 1, il existe au plus un caractère x modulo q tel que L (x, s) ait un zéro p = P+iy
dans la régzon
Le caractère exceptionnel, s'il existe, est un caracttke réel primitif x,, et L(x,, s) a un z&o
unique p, < 1 dans la régzon (3.19) ; de plus ce zéro est réel et simple.
Pour s dans la régzon
on a de plus la majoration
la constante implicite étant absolue et le second terme n Ztant présent que si le z&o exceptionnel
existe.
Ce théorème date du début du xxe siècle, et le problème de démontrer que le
zéro << exceptionnel >> (dit aussi zéro de Siegel, ou zéro de Landau-Siegel) n'existe pas
(pour une valeur de c > O fixée) demeure complètement ouvert malgré de nombreux
travaux et efforts : voir la Section 4.3 pour (essentiellement) le mieux que l'on sache
faire actuellement.
Avant de commencer la démonstration, indiquons par quelle heuristique on peut
justifier le raisonnement qui va suivre, dans le cas de <(s) . On considère le problème
de démontrer que c(1 + it) # O, t # O. Or si 1 + it est zéro de c, on a
log(0 - 1) log 1 c (a + it) 1 N c ~e (p-"-") = p-" cos (t logp) .
1-,
1,
Si 1 + it est un zéro de <(s), on s'attend par comparaison avec (2.4) pour o - , 1
que cos (it log$) soit proche de - 1 pour la majorité des valeurs de p. Mais alors
cos(2it logp) est proche de 1, de sorte que
log I<(o + 2it) 1 - log(o - 1)
et 1 + 2it serait un pôle de c(s), ce qui est impossible.
Ceci était l'argument original d'Hadamard et peut être formalisé (voir par
exemple [T2, 3.2]), mais une astuce (due à de la Vallée-Poussin) permet d'encapsuler le principe de manière plus compacte et plus efficace : il s'agit de l'inégalité
1'Hypo thèse de Riemann.
T h é o r h e 3.3.2. - Il existe une constante absolue c > O ayant la propriété suivante : pour
tout entier q 2 1, il existe au plus un caractère x modulo q tel que L (x, s) ait un zéro p = P+iy
dans la régzon
Le caractère exceptionnel, s'il existe, est un caracttke réel primitif x,, et L(x,, s) a un z&o
unique p, < 1 dans la régzon (3.19) ; de plus ce zéro est réel et simple.
Pour s dans la régzon
on a de plus la majoration
la constante implicite étant absolue et le second terme n Ztant présent que si le z&o exceptionnel
existe.
Ce théorème date du début du xxe siècle, et le problème de démontrer que le
zéro << exceptionnel >> (dit aussi zéro de Siegel, ou zéro de Landau-Siegel) n'existe pas
(pour une valeur de c > O fixée) demeure complètement ouvert malgré de nombreux
travaux et efforts : voir la Section 4.3 pour (essentiellement) le mieux que l'on sache
faire actuellement.
Avant de commencer la démonstration, indiquons par quelle heuristique on peut
justifier le raisonnement qui va suivre, dans le cas de <(s) . On considère le problème
de démontrer que c(1 + it) # O, t # O. Or si 1 + it est zéro de c, on a
log(0 - 1) log 1 c (a + it) 1 N c ~e (p-"-") = p-" cos (t logp) .
1-,
1,
Si 1 + it est un zéro de <(s), on s'attend par comparaison avec (2.4) pour o - , 1
que cos (it log$) soit proche de - 1 pour la majorité des valeurs de p. Mais alors
cos(2it logp) est proche de 1, de sorte que
log I<(o + 2it) 1 - log(o - 1)
et 1 + 2it serait un pôle de c(s), ce qui est impossible.
Ceci était l'argument original d'Hadamard et peut être formalisé (voir par
exemple [T2, 3.2]), mais une astuce (due à de la Vallée-Poussin) permet d'encapsuler le principe de manière plus compacte et plus efficace : il s'agit de l'inégalité