pour oo < O car (1 - o + tx) /2 > O. Prenons le cas de c (s) d'abord : si so # O,
l'équation devient
et pour so = O on trouve
ordo < (s) = - 1 + 1 = 0.
De même si x est pair et primitif ( q 2 2), si ce n'est que l'analogue de (3.18) vaut
même pour so = O (d'après la Proposition 3.3.8 ci-dessous, dont la preuve est logiquement indépendante de la Proposition en cours de démonstration). Cela prouve (2).
Le cas des caractères impairs est complètement similaire et laissé aux lecteurs.
Pour démontrer (5), il suffit de démontrer que la fonction f (s) du Corollaire 3.2.5
a une infinité de zéros pour x primitif : en effet, les zéros de L(x, s) discutés précédemment correspondent à des pôles du facteur gamma et ne sont pas des zéros de
N x , 4 .
Or f est une fonction d'ordre 1. D'après le Théorème 3.A.4, (2), on a une factorisation
donc si f n'a qu'un nombre fini de zéros il vient f (s) = e a + b ' s ~ (s) avec P E C [XI un
polynôme. Mais cela contredit de nouveau l'asymptotique (3.12), via la formule de
Stirling (2.19) quand o -+ +m.
Dans son mémoire [RI où il introduisit les méthodes de variable complexe dans
la théorie analytique des nombres, Riemann exprime qu'il est « très probable » que
tous les zéros non triviaux de <(s) sont situés sur la droite critique.
L'interprétation de cette hypothèse pour la distribution des nombres premiers est
maintenant claire : si cela est vrai, partant de l'intégrale
comme cf/[ n'a alors qu'un seul pôle en s = 1 de résidu 1 (la multiplicité du pôle de
c en l ) , on peut déplacer la droite d'intégration comme dans la Section 2.3 jusqu'à
o = 1/2 + E pour tout E > O, et obtenir
pour y 2 2, la constante implicite dépendant de E (et du choix de la fonction test 7 ) .
Bien que l'Hypothèse émise par Riemann soit généralement considérée comme
vraie, elle reste non démontrée. On sait cependant que c(s) (et, à une exception
possible près, toute fonction L de Dirichlet) ne s'annule pas dans une région légèrement à gauche de la droite o = 1. Cela suffit pour obtenir le théorème des nombres
l'équation devient
et pour so = O on trouve
ordo < (s) = - 1 + 1 = 0.
De même si x est pair et primitif ( q 2 2), si ce n'est que l'analogue de (3.18) vaut
même pour so = O (d'après la Proposition 3.3.8 ci-dessous, dont la preuve est logiquement indépendante de la Proposition en cours de démonstration). Cela prouve (2).
Le cas des caractères impairs est complètement similaire et laissé aux lecteurs.
Pour démontrer (5), il suffit de démontrer que la fonction f (s) du Corollaire 3.2.5
a une infinité de zéros pour x primitif : en effet, les zéros de L(x, s) discutés précédemment correspondent à des pôles du facteur gamma et ne sont pas des zéros de
N x , 4 .
Or f est une fonction d'ordre 1. D'après le Théorème 3.A.4, (2), on a une factorisation
donc si f n'a qu'un nombre fini de zéros il vient f (s) = e a + b ' s ~ (s) avec P E C [XI un
polynôme. Mais cela contredit de nouveau l'asymptotique (3.12), via la formule de
Stirling (2.19) quand o -+ +m.
Dans son mémoire [RI où il introduisit les méthodes de variable complexe dans
la théorie analytique des nombres, Riemann exprime qu'il est « très probable » que
tous les zéros non triviaux de <(s) sont situés sur la droite critique.
L'interprétation de cette hypothèse pour la distribution des nombres premiers est
maintenant claire : si cela est vrai, partant de l'intégrale
comme cf/[ n'a alors qu'un seul pôle en s = 1 de résidu 1 (la multiplicité du pôle de
c en l ) , on peut déplacer la droite d'intégration comme dans la Section 2.3 jusqu'à
o = 1/2 + E pour tout E > O, et obtenir
pour y 2 2, la constante implicite dépendant de E (et du choix de la fonction test 7 ) .
Bien que l'Hypothèse émise par Riemann soit généralement considérée comme
vraie, elle reste non démontrée. On sait cependant que c(s) (et, à une exception
possible près, toute fonction L de Dirichlet) ne s'annule pas dans une région légèrement à gauche de la droite o = 1. Cela suffit pour obtenir le théorème des nombres