Or on connaît les pôles : si x n'est pas trivial, il n'y en a pas, et si x = E ~ ,
il existe
un unique pôle simple en s = 1, lequel apporte une contribution égale à fi(1). Par
contre, on ne sait que finalement peu de choses sur les zéros de L(x, s) .
Il y en a d'évidents :
Proposition 3.3.1. - Soit x un caractère de Dirichlet.
(1) L a fonction L(x,s) nbpasdezéropouro > 1.
(2) Si x est primitif et pair, alors L (x, s) a des zéros simples en s = - 2k, k 2 1 entier, et si
x est non trivial, également en s = 0.
(3) Si x est primitif et impair, alors L(x, s) a des zéros simples en s = -2k - 1, k >, O
entier:
(4) Si x est non primitiJ induit par le caractère primitif X* modulo q* , L(x, s) a de plus
une injînité de zéros sur la droite verticale o = O donnés par
pour tout k E 2, et p 1 q/q* .
(5) Pour tout x primitiJ il existe une injînité de zéros de L(x, s) satisfaisant s # O et
O < o < l .
Dans tous les cas, les zéros donné par ( l ) , (2), (3) et (4) sont appelés les zéros
triviaux de L(x, s) . Les autres zéros des fonctions L primitives sont appelés les zéros
non triviaux. Dans la suite nous noterons souvent, implicitement, p = P + i y un tel
zéro non trivial d'une fonction L de Dirichlet, de sorte que O < P < 1. La bande
verticale O < o < 1 est appelée la bande critique, et la droite centrale o = 1/2 est
appelée la droite critique.
Démonstration. - Le point (1) est une conséquence immédiate de la convergence
absolue du produit eulérien pour o > 1
puisque les différents facteurs sont des fonctions sans zéro pour o > 1.
Le point (4) est également évident compte tenu de (2.48) puisque
1 - x (p)pPS = O si et seulement si pS = fisp.
Les points (2) et (3) découlent évidemment de (1) par le biais de l'équation fonctionnelle. Rappelons que T ( s ) a pour seules singularités des pôles simples en s = -k,
k 2 O entier.
Notant ord,, l'ordre d'une fonction holomorphe en so (< O dans le cas d'un
pôle), on a par (3.5)
ord,, L(x, s) = - ord,, T - +ords0 L(X,l - s)
il existe
un unique pôle simple en s = 1, lequel apporte une contribution égale à fi(1). Par
contre, on ne sait que finalement peu de choses sur les zéros de L(x, s) .
Il y en a d'évidents :
Proposition 3.3.1. - Soit x un caractère de Dirichlet.
(1) L a fonction L(x,s) nbpasdezéropouro > 1.
(2) Si x est primitif et pair, alors L (x, s) a des zéros simples en s = - 2k, k 2 1 entier, et si
x est non trivial, également en s = 0.
(3) Si x est primitif et impair, alors L(x, s) a des zéros simples en s = -2k - 1, k >, O
entier:
(4) Si x est non primitiJ induit par le caractère primitif X* modulo q* , L(x, s) a de plus
une injînité de zéros sur la droite verticale o = O donnés par
pour tout k E 2, et p 1 q/q* .
(5) Pour tout x primitiJ il existe une injînité de zéros de L(x, s) satisfaisant s # O et
O < o < l .
Dans tous les cas, les zéros donné par ( l ) , (2), (3) et (4) sont appelés les zéros
triviaux de L(x, s) . Les autres zéros des fonctions L primitives sont appelés les zéros
non triviaux. Dans la suite nous noterons souvent, implicitement, p = P + i y un tel
zéro non trivial d'une fonction L de Dirichlet, de sorte que O < P < 1. La bande
verticale O < o < 1 est appelée la bande critique, et la droite centrale o = 1/2 est
appelée la droite critique.
Démonstration. - Le point (1) est une conséquence immédiate de la convergence
absolue du produit eulérien pour o > 1
puisque les différents facteurs sont des fonctions sans zéro pour o > 1.
Le point (4) est également évident compte tenu de (2.48) puisque
1 - x (p)pPS = O si et seulement si pS = fisp.
Les points (2) et (3) découlent évidemment de (1) par le biais de l'équation fonctionnelle. Rappelons que T ( s ) a pour seules singularités des pôles simples en s = -k,
k 2 O entier.
Notant ord,, l'ordre d'une fonction holomorphe en so (< O dans le cas d'un
pôle), on a par (3.5)
ord,, L(x, s) = - ord,, T - +ords0 L(X,l - s)