Or comme x est q-périodique avec une moyenne
4 x (x) = O par (2.39) puisque x # E,,
x=l
la fonction sommatoire MX est bornée, trivialement par
Donc (3.13) donne le prolongement analytique de L(x, s) pour O > O, et dans cette
région on a
Les estimations grossières (2.27) et (3.15) seraient suffisantes pour démontrer le
théorème des nombres premiers.
Il est conjecturé qu'une estimation beaucoup plus forte que (3.11) est vraie : c'est
le contenu de l'Hypothèse de Lindelof, une conséquence de l'Hypothèse de Riemann
Généralisée, énoncée dans le Lemme 4.1.3. Voir aussi la Remarque 4.1.5 qui suit.
Exercice 3.2.7. - La méthode basée sur la formule de sommation par partie peut être
utile pour estimer plus précisément L(x, s) quand O = 1. Nous considérons ici le cas
s = 1.
Soit q 2, x modulo q un caractère non trivial.
(1) Démontrer que
avec une constante implicite absolue. [Indication : Utiliser (3.13) et découper l'intégrale en deux parties 1 < x 6 q et x > q, estimer Mx (x) différemment sur chacune.]
(2) Plus généralement, pour k 2 1, démontrer que
avec une constante implicite ne dépendant que de k .
3.3. Les zéros des fonctions L de Dirichlet
On a pour toute fonction test y et c > 1
et donc pour déplacer la droite d'intégration vers la gauche, comme dans la Section 2.3, se pose le problème des singularités de la dérivée logarithmique de L(x, s).
Celles-ci sont des pôles simples situés aux zéros et pôles de L(x, s) , de résidu égal à la
multiplicité du point en question.
4 x (x) = O par (2.39) puisque x # E,,
x=l
la fonction sommatoire MX est bornée, trivialement par
Donc (3.13) donne le prolongement analytique de L(x, s) pour O > O, et dans cette
région on a
Les estimations grossières (2.27) et (3.15) seraient suffisantes pour démontrer le
théorème des nombres premiers.
Il est conjecturé qu'une estimation beaucoup plus forte que (3.11) est vraie : c'est
le contenu de l'Hypothèse de Lindelof, une conséquence de l'Hypothèse de Riemann
Généralisée, énoncée dans le Lemme 4.1.3. Voir aussi la Remarque 4.1.5 qui suit.
Exercice 3.2.7. - La méthode basée sur la formule de sommation par partie peut être
utile pour estimer plus précisément L(x, s) quand O = 1. Nous considérons ici le cas
s = 1.
Soit q 2, x modulo q un caractère non trivial.
(1) Démontrer que
avec une constante implicite absolue. [Indication : Utiliser (3.13) et découper l'intégrale en deux parties 1 < x 6 q et x > q, estimer Mx (x) différemment sur chacune.]
(2) Plus généralement, pour k 2 1, démontrer que
avec une constante implicite ne dépendant que de k .
3.3. Les zéros des fonctions L de Dirichlet
On a pour toute fonction test y et c > 1
et donc pour déplacer la droite d'intégration vers la gauche, comme dans la Section 2.3, se pose le problème des singularités de la dérivée logarithmique de L(x, s).
Celles-ci sont des pôles simples situés aux zéros et pôles de L(x, s) , de résidu égal à la
multiplicité du point en question.