3.2. LE PROLONGEMENT ANALYTIQUE DES FONCTIONS L DE DIRICHLET
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(3) La partie difficile est d'estimer L(x, s) dans la « bande critique », O < a < 1.
On fait appel pour cela au Lemme 3.A.1. Il faut vérifier que L(x, s) satisfait l'hypothèse (ii) de ce lemme. En fait, c'est le cas pour tout cc > 1.
Là encore, il suffit de supposer x primitif. Prenons x pair non trivial d'abord. On
la formule (3.10) pour tout s E C, qui donne pour O < a < 1 l'estimation
(en utilisant (3.9) ) . Donc
L(X, S) « d 2 r ( a / z ) - l (1 + q1/2-o)
et l'hypothèse requise pour tout cc > 1 découle alors de la formule de Stirling (2.18).
Pour tout E > 0, l'hypothèse (i) du Lemme 3.A.l est fournie
- par (1) pour b = 1 + E, avec C(b) = [(l + E ) , D(b) = 0 ;
- par (2) pour a = -E, avec C (a) = c ~ ~ ~ / ~ + ~ ,
D (b) = 1/2 + E, pour une certaine
constante Cl 2 O ne dépendant que de E.
La borne (3.1 1) est alors une conséquence immédiate du lemme (quitte à changer E ) .
On procède de même pour les caractères impairs et pour < (s) pour 1 t 1 2 1, le pôle
en s = 1 étant incorporé dans l'estimation finale (3.11).
O
La démonstration a également prouvé l'essentiel de la propriété suivante :
Corollaire 3.2.5. - Soit x un caractère de Dirichlet. Alors
f (s) = (S(S - l ) ) S ( x ) ~ ( X '
S)
est une fonction entière d'ordre exactement 1, cf: Déjnition 3.A.2, ne s'annulant pas en s = 0.
Démonstration. - Par le Théorème 3.2.1, f est une fonction entière. Comme L (5 s)
a croissance polynomiale et r(s/2) -' est d'ordre 1, f est d'ordre au plus 1. Comme
de plus
(3.12)
f (a) a 2 S ( ~ ) ~ - 0 / 2 î ( a / 2 )
quand a + +oo
(pour x pair), on voit que f est d'ordre exactement 1 en faisant appel à la formule de
Stirling (2.19). De plus f (O) # O puisque, par l'équation fonctionnelle (3.5) ou (3.7)'
et la Proposition 3.3.8 ci-dessous, -6(x) est l'ordre exact de A(x, s) en s = 0.
0
Remarque 3.2.6. - La formule de sommation par partie (2.5) a suffit à démontrer
que [(s) a croissance polynomiale dans la bande O < a < 1 (cf. (2.27))' et le même
raisonnement démontre que L(x, s) est à croissance polynomiale comme fonction de
s et de q : pour x non trivial
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004
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(3) La partie difficile est d'estimer L(x, s) dans la « bande critique », O < a < 1.
On fait appel pour cela au Lemme 3.A.1. Il faut vérifier que L(x, s) satisfait l'hypothèse (ii) de ce lemme. En fait, c'est le cas pour tout cc > 1.
Là encore, il suffit de supposer x primitif. Prenons x pair non trivial d'abord. On
la formule (3.10) pour tout s E C, qui donne pour O < a < 1 l'estimation
(en utilisant (3.9) ) . Donc
L(X, S) « d 2 r ( a / z ) - l (1 + q1/2-o)
et l'hypothèse requise pour tout cc > 1 découle alors de la formule de Stirling (2.18).
Pour tout E > 0, l'hypothèse (i) du Lemme 3.A.l est fournie
- par (1) pour b = 1 + E, avec C(b) = [(l + E ) , D(b) = 0 ;
- par (2) pour a = -E, avec C (a) = c ~ ~ ~ / ~ + ~ ,
D (b) = 1/2 + E, pour une certaine
constante Cl 2 O ne dépendant que de E.
La borne (3.1 1) est alors une conséquence immédiate du lemme (quitte à changer E ) .
On procède de même pour les caractères impairs et pour < (s) pour 1 t 1 2 1, le pôle
en s = 1 étant incorporé dans l'estimation finale (3.11).
O
La démonstration a également prouvé l'essentiel de la propriété suivante :
Corollaire 3.2.5. - Soit x un caractère de Dirichlet. Alors
f (s) = (S(S - l ) ) S ( x ) ~ ( X '
S)
est une fonction entière d'ordre exactement 1, cf: Déjnition 3.A.2, ne s'annulant pas en s = 0.
Démonstration. - Par le Théorème 3.2.1, f est une fonction entière. Comme L (5 s)
a croissance polynomiale et r(s/2) -' est d'ordre 1, f est d'ordre au plus 1. Comme
de plus
(3.12)
f (a) a 2 S ( ~ ) ~ - 0 / 2 î ( a / 2 )
quand a + +oo
(pour x pair), on voit que f est d'ordre exactement 1 en faisant appel à la formule de
Stirling (2.19). De plus f (O) # O puisque, par l'équation fonctionnelle (3.5) ou (3.7)'
et la Proposition 3.3.8 ci-dessous, -6(x) est l'ordre exact de A(x, s) en s = 0.
0
Remarque 3.2.6. - La formule de sommation par partie (2.5) a suffit à démontrer
que [(s) a croissance polynomiale dans la bande O < a < 1 (cf. (2.27))' et le même
raisonnement démontre que L(x, s) est à croissance polynomiale comme fonction de
s et de q : pour x non trivial
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004