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CHAPITRE 3. LE THÉORÈME DES NOMBRES PREMIERS
pour tout E > O, la constante ne dépendant que de E .
La borne (3.11) est souvent appelée la « borne de convexité ». En effet, la borne
inférieure p(o) des exposants p tels que (pour x non trivial)
pour t E R est une fonction convexe de o (voir le Lemme 3.A.l ci-dessous). L'importance d'améliorer cette borne (c'est-à-dire de diminuer la valeur de l'exposant p) est
discutée brièvement dans la Remarque 4.1.5 ; c'est un sujet de recherche très actuel.
Démonstration
(1) Ce point est trivial puisque L(x, s) converge absolument dans cette région
donc
et que ' 5 a un pôle simple en s = 1.
(2) Pour o < O on utilise l'équation fonctionnelle pour se ramener au cas précédent. Supposons d'abord x primitif. Alors on a par (3.5)
Pour estimer y (s) on fait appel à la formule de Stirling complexe (2.18)' qui donne,
pour -A < o < O
(1 + ~ ( t - ' ) ) quand Itl 2 1
d'où, uniformément dans cette région
JL(x, s) 1 « q1/2-" l t ~ ' / ~ - "
Le résultat en découle en absorbant les valeurs Jtl < 1 dans la constante implicite,
puisqu'il n'y a pas de pôle pour o < 0.
Pour x non primitif, on a (2.48) d'où, d'après ce qui précède
après un petit calcul.