3.2. LE PROLONGEMENT ANALYTIQUE DES FONCTIONS L DE DIRICHLET
On procède alors comme avant en découpant l'intégrale en q = 1, et donc
du
A s ) = 2 ( J ( O ) - X
(O(u) - ~ ) x ( l - ~ ) / ~ -
U
le résultat en découle aussitôt.
Enfin, si x est impair, au lieu de la fonction 8(x; X) = O, il faut employer (x; X)
(voir (2.56)). Le calcul est alors similaire au cas pair. Le décalage de tx dans le facteur
gamma provient de la présence du n dans la définition de 81, et le facteur i de la
forme de la relation de modularité (2.56). Les détails sont laissés aux lecteurs.
i i
Remarque 3.2.3. - Pourquoi ne
f (x) = x+, x > O, puisque
La raison est bien entendu que
pas appliquer la formule de Poisson directement à
f ne vérifie pas les conditions de régularité nécessaires pour démontrer la formule de Poisson. On a donc, en quelque sorte, « lissé D
de manière appropriée la fonction f pour que la formule de Poisson devienne applicable.
La démonstration fournit par ailleurs un moyen d'obtenir une première estimation des fonctions L de Dirichlet sur C. De telles informations sont bien entendu
significatives si l'on veut appliquer la méthode de la Section 2.3 pour estimer des
fonctions sommatoires (cf: l'hypothèse (2.25) pour la Proposition 2.3.6). De plus,
comme le suggère la formule (3.1), il est également très important pour les applications d'estimer L (x, s) uniformément en fonction d u caractère, et en particulier du
module q.
Proposition 3.2.4. - Les fonctions L (x, s) sont à croissance polynomiale comme fonctions de q
et de s, uniformément pour tout x et dans toute bande verticale $nie A < o < B . Plus
précisément :
(1) O n apour tout o > 1
uniformément pour tout X, t E R .
(2) Soit A > O ; on a uniformément pour -A < o < O, pour tout x et t E R
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004
On procède alors comme avant en découpant l'intégrale en q = 1, et donc
du
A s ) = 2 ( J ( O ) - X
(O(u) - ~ ) x ( l - ~ ) / ~ -
U
le résultat en découle aussitôt.
Enfin, si x est impair, au lieu de la fonction 8(x; X) = O, il faut employer (x; X)
(voir (2.56)). Le calcul est alors similaire au cas pair. Le décalage de tx dans le facteur
gamma provient de la présence du n dans la définition de 81, et le facteur i de la
forme de la relation de modularité (2.56). Les détails sont laissés aux lecteurs.
i i
Remarque 3.2.3. - Pourquoi ne
f (x) = x+, x > O, puisque
La raison est bien entendu que
pas appliquer la formule de Poisson directement à
f ne vérifie pas les conditions de régularité nécessaires pour démontrer la formule de Poisson. On a donc, en quelque sorte, « lissé D
de manière appropriée la fonction f pour que la formule de Poisson devienne applicable.
La démonstration fournit par ailleurs un moyen d'obtenir une première estimation des fonctions L de Dirichlet sur C. De telles informations sont bien entendu
significatives si l'on veut appliquer la méthode de la Section 2.3 pour estimer des
fonctions sommatoires (cf: l'hypothèse (2.25) pour la Proposition 2.3.6). De plus,
comme le suggère la formule (3.1), il est également très important pour les applications d'estimer L (x, s) uniformément en fonction d u caractère, et en particulier du
module q.
Proposition 3.2.4. - Les fonctions L (x, s) sont à croissance polynomiale comme fonctions de q
et de s, uniformément pour tout x et dans toute bande verticale $nie A < o < B . Plus
précisément :
(1) O n apour tout o > 1
uniformément pour tout X, t E R .
(2) Soit A > O ; on a uniformément pour -A < o < O, pour tout x et t E R
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004