La justification de l'interversion est immédiate puisque, par la même formule que
ci-dessus, on a pour o > 1
Les fonctions thêta sont à décroissance exponentielle à l'infini :
(3.9)
0(x; x) « eeXX pour tout x, tout x 2 1.
Soit or > O ; écrivons
Le second terme est, par (3.9)' une fonction entière de s E C. Dans le premier
terme, il faut analyser le comportement de 0 (x; x) pour x proche de O : la formule
de modularité du Corollaire 2.6.12 nous ramène à l'infini. Précisément on a
D'après (3.9) encore, ceci est une fonction entière de s pour tout choix de u > 0.
Mais écrivons la formule obtenue
0 (x; x) xs@ + w (x) q1/2-s
X
U
Si l'on choisit u = q-l, on trouve
1
+"
(3.10)
A (x, s) =
0 (x; x) xs/' + w (x)
0 (u; XI u(l-s)/2 -
X
'
U
d'où l'équation fonctionnelle (3.5) puisque
par hypothèse.
Il reste à adapter cela à C(s) ( q = 1 ) et aux caractères impairs. Pour <(s), il faut
tenir compte du terme n = O dans 0(x) : cela donne au lieu de (3.8)