3.2. LE PROLONGEMENT ANALYTIQUE DES FONCTIONS L DE DIRICHLET
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Il existe de très nombreuses preuves de ce théorème, en particulier du cas de
<(s) (voir par exemple [TZ, Ch. II]). L'équation fonctionnelle (3.7) était même déjà
connue d'Euler, dans le langage des séries divergentes !
La preuve ci-dessous peut être considérée comme l'une des plus conceptuelles, et
des plus fructueuses, en raison des liens avec les formes modulaires par l'intermédiaire des séries thêta.
La présence de la fonction gamma dans l'équation fonctionnelle est (assez) bien
comprise depuis la thèse de Tate [Ta] comme l'expression d'un « facteur local à
l'infini », similaire aux facteurs locaux en p premier du produit eulérien (2.45) exprimant L(x, s) . Cette présentation est très révélatrice et est à la base de travaux très
profonds.
Remarque 3.2.2. - Dans la littérature, une autre normalisation de l'équation fonctionnelle est souvent utilisée : au lieu de (3.4)' on pose
et on a alors
q x ' s) = E ( X ) ~ ( X ' 1 - 3 )
au lieu de (3.5). La forme choisie ici a l'avantage subjectif d'être plus proche de
l'interprétation du facteur gamma dans A(x, s) comme un facteur eulérien à l'infini.
Démonstration. - Il suffit de démontrer (3) et (4) : si x est non primitif, induit par
le caractère primitif x*, on a la relation (2.48) qui démontre que (3) ou (4) pour X*
implique (1) ou (2) pour X. Le résidu en s = 1, dans le cas x = E ~ ,
est donné par
R ~ S , , ~
<(s) = 1 et (2.46) :
La preuve de (3) et (4) proviendra d'une expression de la fonction A comme
transformée de Mellin d'une fonction thêta, suivi d'une application de l'équation de
modularité de celle-ci pour en déduire l'holomorphie partout. Une symétrie apparaîtra, donnant l'équation fonctionnelle.
Supposons d'abord x primitif et pair de conducteur q 2 2, donc tx = O. Pour tout
par la définition (2.17) de T(s) et changement de variable x H rrn2x. Sommant sur
n 2 1 après multiplication par ~ ( n )
et intervertissant la somme et l'intégrale on
trouve (voir (3.4) et (2.55))
pour o > 1.
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Il existe de très nombreuses preuves de ce théorème, en particulier du cas de
<(s) (voir par exemple [TZ, Ch. II]). L'équation fonctionnelle (3.7) était même déjà
connue d'Euler, dans le langage des séries divergentes !
La preuve ci-dessous peut être considérée comme l'une des plus conceptuelles, et
des plus fructueuses, en raison des liens avec les formes modulaires par l'intermédiaire des séries thêta.
La présence de la fonction gamma dans l'équation fonctionnelle est (assez) bien
comprise depuis la thèse de Tate [Ta] comme l'expression d'un « facteur local à
l'infini », similaire aux facteurs locaux en p premier du produit eulérien (2.45) exprimant L(x, s) . Cette présentation est très révélatrice et est à la base de travaux très
profonds.
Remarque 3.2.2. - Dans la littérature, une autre normalisation de l'équation fonctionnelle est souvent utilisée : au lieu de (3.4)' on pose
et on a alors
q x ' s) = E ( X ) ~ ( X ' 1 - 3 )
au lieu de (3.5). La forme choisie ici a l'avantage subjectif d'être plus proche de
l'interprétation du facteur gamma dans A(x, s) comme un facteur eulérien à l'infini.
Démonstration. - Il suffit de démontrer (3) et (4) : si x est non primitif, induit par
le caractère primitif x*, on a la relation (2.48) qui démontre que (3) ou (4) pour X*
implique (1) ou (2) pour X. Le résidu en s = 1, dans le cas x = E ~ ,
est donné par
R ~ S , , ~
<(s) = 1 et (2.46) :
La preuve de (3) et (4) proviendra d'une expression de la fonction A comme
transformée de Mellin d'une fonction thêta, suivi d'une application de l'équation de
modularité de celle-ci pour en déduire l'holomorphie partout. Une symétrie apparaîtra, donnant l'équation fonctionnelle.
Supposons d'abord x primitif et pair de conducteur q 2 2, donc tx = O. Pour tout
par la définition (2.17) de T(s) et changement de variable x H rrn2x. Sommant sur
n 2 1 après multiplication par ~ ( n )
et intervertissant la somme et l'intégrale on
trouve (voir (3.4) et (2.55))
pour o > 1.