En première lecture, il est possible de se limiter au théorème des nombres premiers dans la forme originale, c'est-à-dire pour q = 1. On évite ainsi certaines complications, mais on perd également certains phénomènes importants.
Signalons aussi que la preuve présentée ici n'est pas la plus simple (ni la plus
élémentaire) mais a été choisie en raison des possibilités de développements qu'elle
offre vers des thèmes de recherche encore actuels (zéros exceptionnels, etc. : voir
aussi le chapitre suivant) .
Enfin, les énoncés de résultats qui sont purement d'analyse complexe sont relégués
à un appendice pour ne pas distraire du flot de l'argument arithmétique.
3.2. Le prolongement analytique des fonctions L de Dirichlet
Il s'avère tout d'abord que les fonctions L de Dirichlet se prolongent méromorphiquement à C, avec des pôles aisément décrits.
Il est pratique de définir
(1) 6 ( ~ )
= 1 si x est trivial modulo q et 6 ( ~ )
= O sinon ;
(2) tx = O si x estpair et t x = 1 si x estimpair;
(3) Yx) = 7 ( x ) / f l et
(3.3)
E (x) = C t ~
w (x)
(noter que 1 W (x) ( = 1 et IE(x) 1 = 1 d'après (2.51)).
Théorème 3.2.1. - Soit q 2 1 et x un caractère de Dirichlet modulo q .
(1) Si x n'est pas trivial, L(x, s ) est une fonction entière de S .
( 2 ) Si x = E~ est trivial, L(x, s ) est une jonction mbomorphe sur C avec un unique pôle
simple en s = 1 de résidu
(3) Plus précisément, si x est primitif et non trivial, la fonction
est une fonction entière vh$ant l'équation fonctionnelle
pour tout s E C .
( 4 ) Si x est primitif et trivial, q = 1, L(x, s) = c ( s ) , la fonction
est mbomorphe avec des pôles simples de résidus = 1 en s = O et s = 1 , et véri$e l'équation
fonctionnelle
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