CHAPITRE 3
LE THÉORÈME DES NOMBRES PREMIERS
3.1. Introduction
Nous allons démontrer le théorème des nombres premiers dans les progressions
arithmétiques, Théorème 1.3.6. Plus précisément, comme dans le Lemme 2.1.13,
nous considérons les nombres entiers 2 1 avec le poids A(n) , et le résultat est équivalent à :
Théorème 3.1.1. - Soit q 2 1 et a 2 1 des entiers avec
+(x; qi a) =
C A@)
n n z a (mod q)
quand x -+ +oo, pour a et q Jixés.
(a, q) = 1. Alors
X
m -
(P (4)
Comme dans la preuve de l'équation de modularité des fonctions thêta avec caractère à la fin du chapitre précédent, on va aborder l'étude de +(x; q, a) par l'intermédiaire des caractères de Dirichlet. En effet, d'après les relations d'orthogonalité (2.39), on a
1
4J (x; q, a) = ' C X(a)+(x,x)
(P (q) x (rnod q)
est la fonction sommatoire correspondant à la dérivée logarithmique de L(x, s) .
Au vu de la discussion de la Section 2.3, et de la Proposition 2.6.2, il est donc
naturel d'étudier les propriétés analytiques des séries de Dirichlet L'(x, s)/L(x, s) , et
en particulier leur prolongement au delà de la région de convergence absolue, et
leurs singularités, qui sont des pôles simples situés aux pôles et zéros de L ( x , s) , avec
comme résidu l'ordre de ceux-ci.