APPENDICE : RÉSULTATS D'ANALYSE COMPLEXE
( 2 ) O n a, pour tout x E C
où r est l'ordre de f en z = O, p parcourt l'ensemble des zéros non nuls de f avec multiplicité,
a et b E C sont des constantes.
Le produit converge absolument et unqormément sur tout compact de C .
Indication de preuve. - On peut bien sûr supposer que
On démontre d'abord que si une fonction entière
zéros, alors nécessairement
f (z) =
O n'est pas un zéro de f .
d'ordre au plus 1 n'a pas de
pour certaines constantes a, b E C . Pour cela on développe en série g(x) = log f (z),
qui existe puisque f ne s'annule pas, et on démontre que ses coefficients de Taylor
en O, disons b,, vérifient
bnrn «, rl+&
en utilisant (3.49). Cela démontre que g est linéaire.
Soit
= I{P I lPl < et f (P) = (2-1.
On utilise ensuite la formule de Jensen
pour f holomorphe dans lzl < R avec R > r , ne s'annulant pas en O, pour démontrer
que (1) est vrai.
Cela permet de définir le produit infini
et de vérifier (voir l'Appendice du chapitre 2) que g est une fonction entière. Enfin
on démontre que h(z) = f ( z ) ~ ( z ) -' est une fonction entière d'ordre au plus 1 (cela
nécessite de minorer g(z) sur des cercles bien choisis), qui ne s'annule pas. On peut
donc appliquer à h le premier argument pour déduire que h(t) =
Voir par
exemple [Tl, 8.21 pour les preuves complètes.
O