les bases de la théorie des fonctions holomorphes (formule des résidus('), principe
du maximum essentiellement). Plus que cela, c'est d'une certaine habitude et agilité
dans le maniement des inégalités qu'il faut disposer : habitude qui devrait se renforcer à la lecture du cours, d'ailleurs, si celle-ci est attentive ...
Les notations sont standard, à une exception près : en plus des symboles de Landau
f = O(g) , f = o(g) et f - g, on utilise souvent en théorie analytique des nombres
le symbole de Vinogradov f « g (et son opposé f » g ) , dont l'interprétation est
subtilement différente.
Pour clarifier cela, nous reprenons la définition (celle de Bourbaki, par exemple)
de f = O(g), qui est de nature topologique. Ainsi, étant donné un espace topologique X, un point xo E X , des fonctions f et g définies sur un voisinage de xo (pas
forcément en xo même), on dit que f = O(g) quand x -+ xo , s'il existe un voisinage V
de xo et une constante C 2 0, dépendant a priori de V et de xo, telle que
Par contre, si X est un ensemble quelconque, f et g des fonctions sur X, on dit
que f « g pour x E Y c X s'il existe C telle que
La différence est que, dans ce second cas, l'ensemble Y doit être exactement spécifié (bien que souvent il soit clair dans le contexte), alors que le voisinage V de
f = O(g) peut être remplacé par tout autre voisinage W c V de xo. Dans l'écriture
f « g sur Y, une constante C convenable est appelée << constante implicite » dans
le symbole « (souvent, elle dépendra d'autres paramètres, qui seront explicitement
mentionnés ou indiqués en indice «, , etc.)
Un exemple suffit à expliquer cela : on a
mais certainement pas
1
1
- < < - pour x > 0.
x
x + l
Les lecteurs sont prévenus qu'une grande partie de la littérature en théorie analytique des nombres utilise f = O(g) comme synonyme de f « g, et parle donc de
constante implicite. Mais c'est aussi une source de nombreuses erreurs et malentendus.. .
Il est pratique d'introduire un nouveau symbole f = Q(g) (appelé « grand O
uniforme ») tel que f = Q(g) soit exactement synonyme de f « g.
( l ) ~ n
pratique, seulement pour un rectangle !
du maximum essentiellement). Plus que cela, c'est d'une certaine habitude et agilité
dans le maniement des inégalités qu'il faut disposer : habitude qui devrait se renforcer à la lecture du cours, d'ailleurs, si celle-ci est attentive ...
Les notations sont standard, à une exception près : en plus des symboles de Landau
f = O(g) , f = o(g) et f - g, on utilise souvent en théorie analytique des nombres
le symbole de Vinogradov f « g (et son opposé f » g ) , dont l'interprétation est
subtilement différente.
Pour clarifier cela, nous reprenons la définition (celle de Bourbaki, par exemple)
de f = O(g), qui est de nature topologique. Ainsi, étant donné un espace topologique X, un point xo E X , des fonctions f et g définies sur un voisinage de xo (pas
forcément en xo même), on dit que f = O(g) quand x -+ xo , s'il existe un voisinage V
de xo et une constante C 2 0, dépendant a priori de V et de xo, telle que
Par contre, si X est un ensemble quelconque, f et g des fonctions sur X, on dit
que f « g pour x E Y c X s'il existe C telle que
La différence est que, dans ce second cas, l'ensemble Y doit être exactement spécifié (bien que souvent il soit clair dans le contexte), alors que le voisinage V de
f = O(g) peut être remplacé par tout autre voisinage W c V de xo. Dans l'écriture
f « g sur Y, une constante C convenable est appelée << constante implicite » dans
le symbole « (souvent, elle dépendra d'autres paramètres, qui seront explicitement
mentionnés ou indiqués en indice «, , etc.)
Un exemple suffit à expliquer cela : on a
mais certainement pas
1
1
- < < - pour x > 0.
x
x + l
Les lecteurs sont prévenus qu'une grande partie de la littérature en théorie analytique des nombres utilise f = O(g) comme synonyme de f « g, et parle donc de
constante implicite. Mais c'est aussi une source de nombreuses erreurs et malentendus.. .
Il est pratique d'introduire un nouveau symbole f = Q(g) (appelé « grand O
uniforme ») tel que f = Q(g) soit exactement synonyme de f « g.
( l ) ~ n
pratique, seulement pour un rectangle !