Ces notes ont été rédigées pour un cours de DEA donné à l'université Bordeaux 1
au second semestre 2001/2002. L'idée était de présenter de manière motivée certaines des méthodes les plus modernes de théorie analytique des nombres par le biais
d'un théorème très récent de Duke, Friedlander et Iwaniec. Pour que celui-ci soit
présenté dans un contexte compréhensible, il a fallu tout naturellement développer
les résultats fondamentaux concernant la distribution des nombres premiers, de sorte
que le texte final peut aussi être considéré comme une introduction à toute la partie
<< multiplicative » de la théorie analytique des nombres. Il n'existe pas beaucoup de
textes ayant cet objectif, ce qui peut rendre utiles ces notes au lecteur débutant ou
non spécialiste.
Les choix de présentation ont été faits dans cette optique. En particulier, on remarquera l'insistance, parfois maniaque, sur les « sommes lisses » : si cela ne se justifie pas
toujours pour ce qui est du contenu présent, il n'en est pas moins vrai que même des
articles de recherche contiennent encore des énoncés plus faibles, ou des démonstrations plus complexes, que ce qu'ils (elles) pourraient être si leurs auteurs avaient
songé à lisser ces sommes...
Il n'y a pas vraiment de résultats originaux dans ce cours, parfois simplement une
présentation un peu différente de ce qu'on peut trouver habituellement. Cependant,
dans la plupart des cas, je n'ai fait que reprendre et adapter certaines des notes de
cours non publiées de H. Iwaniec.
Je dédie d'ailleurs à H. Iwaniec tout ce qu'il peut se trouver dans ce cours qui
recevra son approbation, avec la plus grande admiration.. .
Prérequis et notations
Les prérequis formels sont assez minces : il faut essentiellement connaître les bases
de la théorie de l'intégration, en particulier les propriétés de base de la transformée
de Fourier sur Rn (bien que seules des fonctions très régulières soient utilisées), et
au second semestre 2001/2002. L'idée était de présenter de manière motivée certaines des méthodes les plus modernes de théorie analytique des nombres par le biais
d'un théorème très récent de Duke, Friedlander et Iwaniec. Pour que celui-ci soit
présenté dans un contexte compréhensible, il a fallu tout naturellement développer
les résultats fondamentaux concernant la distribution des nombres premiers, de sorte
que le texte final peut aussi être considéré comme une introduction à toute la partie
<< multiplicative » de la théorie analytique des nombres. Il n'existe pas beaucoup de
textes ayant cet objectif, ce qui peut rendre utiles ces notes au lecteur débutant ou
non spécialiste.
Les choix de présentation ont été faits dans cette optique. En particulier, on remarquera l'insistance, parfois maniaque, sur les « sommes lisses » : si cela ne se justifie pas
toujours pour ce qui est du contenu présent, il n'en est pas moins vrai que même des
articles de recherche contiennent encore des énoncés plus faibles, ou des démonstrations plus complexes, que ce qu'ils (elles) pourraient être si leurs auteurs avaient
songé à lisser ces sommes...
Il n'y a pas vraiment de résultats originaux dans ce cours, parfois simplement une
présentation un peu différente de ce qu'on peut trouver habituellement. Cependant,
dans la plupart des cas, je n'ai fait que reprendre et adapter certaines des notes de
cours non publiées de H. Iwaniec.
Je dédie d'ailleurs à H. Iwaniec tout ce qu'il peut se trouver dans ce cours qui
recevra son approbation, avec la plus grande admiration.. .
Prérequis et notations
Les prérequis formels sont assez minces : il faut essentiellement connaître les bases
de la théorie de l'intégration, en particulier les propriétés de base de la transformée
de Fourier sur Rn (bien que seules des fonctions très régulières soient utilisées), et