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CHAPITRE 2. PRÉPARATIFS POUR LE THÉORÈME DES NOMBRES PREMIERS
Soit alors
01 ( y ; q, a ) =
c ne-'n2~
n=a (mod q)
0, (y; X ) = C n X ( n ) e-nn2~.
n€Z
Démontrer que
et en déduire que
pour y > 0.
Appendice : produits infinis
Nous énonçons ici simplement les résultats fondamentaux concernant les produits
infinis. Voir par exemple [Ru, 15.11 ou [Tl, 1.41 pour plus de détails concernant ce
sujet.
Définition 2.A.14. - Soit a, E C , n 2 1 et z E C . On dit que z = n ( 1 + a n ) si
N
lim n ( 1 + a,) = z.
N++m ,=l
Le produit infini est dit absolument convergent si le produit
converge.
Proposition 2.A. 15
( 1 ) Si n ( 1 + an) est absolument convergent, alors il est convergent et de plus on a
( 2 ) Si w = n ( 1 + an) est absolument convergent alors w = O si et seulement si il existe
m 2 1 telquea, = -1.
(3) Si an 2 O pour tout n , alors le produit n ( 1 + a,) est absolument convergent si et
seulement si la sirie 2 a, est absolument convergente.
( 4 ) Soit a, : U + C des fonctions holomorphes sur un ouvert U de C telles que C a, ( z )
converge unqormément sur les compacts dans U . Alors le produit inJini f (2) = n ( 1 + a, ( 2 ) )
converge absolument pour z E U , uniformément sur les compacts.