2.6. FONCTIONS L DE DIRICHLET
Proposition 2.6.1 1. - Pour tout y > O on a
1
0(y;q,a) = - C e
q\/I x (mod q )
Démonstration. - On a
avec la notation du Lemme 2.5.3. Or la transformée de Fourier de x H fy (qx + a) est
h
5 H q-le
fy-1 (E/q) . Le Lemme 2.5.3 et la formule de sommation de Poisson
donnent donc
1
q \/I x (mod q)
Corollaire 2.6.12. - Soit q 2 1 et x u n caractère de Dirichlet modulo q. Soit
Alors si x est primitq on a
Démonstration. - Puisque x est défini modulo q on peut scinder la somme suivant les
classes modulo q
et appliquer la Proposition précédente à chaque terme, ce qui donne
1
q a (mod q )
x (mod y)
Puisque x est primitif, X l'est aussi. La somme intérieure vaut . c ( ~ ) X ( x )
par (2.50),
d'où
q \/Y x (mod q )
Exercice 2.6.13. - Si x est un caractère impair, c'est-à-dire si x (- 1) = - 1 , il est clair
que O(.; X ) est la fonction nulle, de sorte que la formule obtenue est triviale.
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004