Par orthogonalité des caractères de (Z/qZ) (voir (2.36)), la somme intérieure sur n
vaut O si x # y, et vaut q sinon, donc
Enfin, la dernière relation est évidente.
Exemple 2.6.1 O
(1) Soit q = p premier, de sorte que tous les caractères non triviaux sont primitifs. Dans ce cas la formule à vérifier pour n = O est
Cette formule est simplement la formule d'orthogonalité si x # 1, et on constate par
contre qu'elle est fausse si x = 1 est non primitif (la somme de droite valant p - 1 ) .
(2) La somme de Gauss du caractère trivial E~ est
Plus généralement on définit les sommes de Ramanujan cq (r) par
En utilisant la formule d'inversion de Mobius et la relations d'orthogonalité des caractères, on démontre (exercice !) que
(2.53)
c d 6 = C dEL(q/d).
dl (VI)
En particulier, c q ( l ) = p(q) ; pour q = P premier, c'est évident. Cela démontre aussi
que (2.51) n'est pas vrai pour x non primitif. Il existe même des caractères pour
lesquels T (x) = 0.
(3) Soit q = p premier et x le caractère quadratique modulo p. On a alors X = x
et donc
lm I = x ( - 1 ) W 2 = P 7
desorteque r ( ~ )
E {&fi} si x(-1) = l , e t r(x) E {kifi) si x(-1) = -1. Gaussa
montré que dans les deux cas, c'est le signe + qui est le bon ; ce résultat est équivalent
à la loi de réciprocité quadratique (voir la Remarque 3.3.10).
Comme application, nous pouvons construire des fonctions thêta associées aux caractères de Dirichlet et démontrer qu'elles satisfont à une relation similaire à (2.44).
Soit q 2 1 et a E Z. On considère la fonction thêta dite de congruence
~ ( y ;
q, a) =
C e-""*y.
n€Z
n=a (mod q )